2.1.1椭圆及其标准方程优秀课件(公开课)

——仙女座星系星系中的椭圆2F1FMM一、椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点(F1、F2)，两焦点的距离叫做椭圆的焦距|F1F2|.1、椭圆的定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。1F2FM几点说明：1、F1、F2是两个不同的点；2、M是椭圆上任意一点，且|MF1|+|MF2|=常数；3、通常这个常数记为2a，焦距记为2c，且2a2c；4、如果2a=2c，则M点的轨迹是线段F1F2.5、如果2a2c，则M点的轨迹不存在.（由三角形的性质知）随堂练习.用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆。(1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹。(2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹。(4)到F1(-2,0)、F2(0,2)的距离之和为3的点的轨迹。因|MF1|+|MF2|=6|F1F2|=4，故点M的轨迹为椭圆。因|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|=4，故点M的轨迹不是椭圆(是线段F1F2)。。，故点M的轨迹为椭圆22|FF|3|MF||MF|因2121(3)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为3的点的轨迹。因|MF1|+|MF2|=4＜|F1F2|=4，故点M的轨迹不存在。如图，建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F1、F2，并且点O与线段F1F2的中点重合.设点M(x,y)是椭圆上任一点，椭圆的焦距为2c(c＞0).焦点F1、F2的坐标分别是(－c,0)、(c,0)．又设M与F1和F2的距离的和等于常数2a．|MF1|＋|MF2|＝2a2.椭圆标准方程的推导：讲授新课OXYF1F2M如图所示：F1、F2为两定点，且|F1F2|=2c，求平面内到两定点F1、F2距离之和为定值2a（2a2c)的动点M的轨迹方程。解：以F1F2所在直线为X轴，F1F2的中点为原点建立平面直角坐标系，则焦点F1、F2的坐标分别为(-c,0)、(c,0)。(-c,0)(c,0)(x,y)设M（x,y)为所求轨迹上的任意一点，则:|MF1|+|MF2|=2aaycxycx2)()(:2222即OXYF1F2M(-c,0)(c,0)(x,y)两边平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)因为2a2c，即ac，所以a2-c20，令a2-c2=b2，其中b0，代入上式可得：12222byax2222)(2)(ycxaycx所以2222222)()(44)(:ycxycxaaycx两边平方得222)(:ycxacxa即b2x2+a2y2=a2b2两边同时除以a2b2得：(ab0)这个方程叫做椭圆的标准方程，它所表示的椭圆的焦点在x轴上。(a＞b＞0).12222byax椭圆的标准方程：是F1(c,0)、F2(－c,0)，且c2＝a2－b2.它所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点讲授新课oyx1F2F),(yxP讲授新课如果使点F1、F2在y轴上，点F1、F2的坐标是F1(0,－c)、F2(0,c)，则椭圆方程为：(a＞b＞0).12222bxayoyx1F2F),(yxPoyx2F1F),(yxP12222byax12222bxay如何根据标准方程判断焦点在哪个坐标轴上？椭圆的方程两种形式的标准方程的比较：012222babyax与222210yxabab椭圆的焦点在x轴上椭圆标准方程中x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上椭圆标准方程中y2项的分母较大．椭圆的方程aA1yOF1F2xB2B1A2cb椭圆方程的几何意义：xyo1F2F012222babyax椭圆的标准方程定义图形方程焦点a、b、c之间的关系012222babyax012222baaybxF1F2MyxOyxOMF1F2|MF1|+|MF2|=2a(2a|F1F2|)(c,0)、(c,0)(0,c)、(0,c)b2=a2c2分母哪个大，焦点就在哪一根坐标轴上1169144222yx）　11625122yx）　答:在x轴上(-3,0)和(3,0）答:在y轴上(0,-5)和(0,5）1132222mymx）　答:在y轴上(0,-1)和(0,1)焦点在分母大的那个轴上。判定下列椭圆的焦点在哪个轴上，写出焦点坐标。写出适合下列条件的椭圆的标准方程(1)a=4，b=1，焦点在x轴上；(2)a=4，b=1，焦点在坐标轴上；11622yx11622yx11622yx或例题讲解例、椭圆的两个焦点的坐标分别是(－4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10,求椭圆的标准方程。12yoFFMx解：∵椭圆的焦点在x轴上∴设它的标准方程为:∵2a=10,2c=8∴a=5,c=4∴b2=a2－c2=52－42=9∴所求椭圆的标准方程为:1=by+ax22221=9y+25x22)0ba(课堂练习5：若方程4x2+ky2=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，求k的取值范围。1141142222kyxkyx得解：由∵方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆41k1解之得：0k4∴k的取值范围为0k4。作业教材Ｐ362结束