《结构力学》压杆稳定

李可勤制作1§1压杆稳定的概念§2临界力和临界应力§3压杆的稳定计算§4提高压杆稳定性的措施§11-1压杆稳定的概念1.工程中的稳定问题•轴向受压杆的承载能力是依据强度条件确定的。但在实际工程中发现，许多细长的受压杆件的破坏是在满足了强度条件情况下发生的。•做一个简单的实验；取两根矩形截面的松木条，A=30×5mm，一杆长为20mm，另一杆长为1000mm。若松木的强度极限σb=40MPa，按强度考虑，两杆的极限承载能力均应为P=40×30×5=6000N。但是，我们给两杆缓缓施加压力时会发现，长杆在加到约30N时，杆发生了弯曲，当力再增加时，弯曲迅速增大，杆随即折断。而短杆可受力到接近6000N,且在破坏前一直保持着直线形状。显然，长杆的破坏不是由于强度不足而引起的。•在工程史上，曾发生过不少类似长杆的突然弯曲破坏导致整个结构毁坏的事故。其中最有名的是1907年北美魁北克圣劳伦斯河上的大铁桥，因桁架中一根受压弦杆突然弯曲，引起大桥的坍塌。•这种细长受压杆突然破坏，就其性质而言，与强度问题完全不同，经研究后知，它是由于杆件丧失了保持直线形状的稳定性而造成的。这类破坏称丧失稳定。杆件招致丧失稳定破坏的压力比发生强度不足破坏的压力要小得多。因此，对细长压杆必须进行稳定性的计算。2.其它的稳定问题•狭长矩形截面梁的侧向整体失稳•薄板的失稳•薄壁圆柱筒的失稳•拱的失稳3.压杆的稳定平衡和不稳定平衡1.稳定平衡与不稳定平衡的概念–当P小于某一临界值Pcr，撤去横向力后，杆的轴线将恢复其原来的直线平衡形态，压杆在直线形态下的平衡是稳定平衡。PP(a)QcrPPcrPP(b)当P增大到一定的临界值Pcr，撤去横向力后，杆的轴线将保持弯曲的平衡形态，而不再恢复其原来的直线平衡形态（图c），压杆在原来直线形态下的平衡是不稳定平衡。(c)临界力（Pcr）的概念中心受压直杆由稳定平衡转化为不稳定平衡时所受轴向压力的临界值。压杆的稳定性：压杆保持初始直线平衡状态的能力。压杆的失稳：压杆丧失直线形状的平衡状态。§12–2临界力和临界应力1.两端绞支压杆的临界力–假定压力已达到临界值P=Pcr，杆已经处于微弯状态如图。从挠曲线入手，求临界力。vcrPδxAPcryxMPcr)(一.欧拉公式mmByyPxMEIycr)(其中I为横截面的最小形心主惯性矩。令kEIPcr2则有二阶常系数线性微分方程02ykyyPxMEIycr)(其通解为A，B，k三个待定常数由该挠曲线的三个边界条件确定。kxBkxAycossin0)()0(lyy000:klcosBklsinABA即PcryPxMcr)(mmBy...),,n(EIPlnkcr210因为临界力Pcr是微弯下的最小压力，故只能取n=1；且杆将绕惯性矩I最小的轴Imin弯曲。22lEIPcr00klsinAB00klsinA不可能因为令kEIPcr22.不同杆端约束下细长压杆的临界应力、压杆的长度系数推论：在其它约束情况下，临界力为：为压杆的长度系数;l为相当长度。)(22lPEIcr几种理想的杆端约束情况下压杆长度系数见表11-1或下图课堂练习：图示各杆材料和截面均相同，问哪根压杆能忍受的压力最大，哪根最小？答：图(d）最大，图（a)最小)22lPEIcr(提示499.4,10，　　，　　　　l2min21)(lEIPcr443minmm10312)1(hbIIy　2'min22)(lEIPcr例11-1：已知一中心受压柱受力如图，l=2m，材料的截面为矩形:①bh=20×45mm2,②a=30mm。试求：两者的临界力。解：一端固定，一端自由的μ＝2kN7.3)20002(1031022452kN33.8)20002(1075.6)102(2452＝PlGPaE2004444'minmm1075.6123012)2(aI　　倍25.212crcrPPy比较（）bhIyPcr/2045300003.702.2522.540379694.681.782536468755.781.442832.143588007.251.153030675008.331.00直径D＝33.85644587.951.05作业1P1761.习题12.习题2预习本章下几节!二、欧拉公式的应用范围1.压杆的临界应力公式（临界应力欧拉公式）压杆受临界力Pcr作用而仍在直线平衡形态下维持稳定的平衡时，横截面上的压应力可按=P/A计算。)/()(2222illPEAEIAcrcrAIi令22Ecr)/()(2222illEAEIAPcrcr　再令ilAIi为压杆横截面对中性轴的惯性半径矩形截面的惯性半径i:圆形截面的惯性半径i:AIizzbhbh3121＝12h＝AIiyybhhb3121＝12b＝AIiiyz＝2441641dd＝4d＝22Ecr　il称为压杆的柔度（长细比）。集中地反映了压杆的长度，杆端约束，截面尺寸和形状对临界应力的影响。越大，相应的cr越小，压杆越容易失稳。若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应分别计算在各平面内失稳时的柔度，并按较大者计算压杆的临界应力cr。欧拉公式的另外一种表达形式2.欧拉公式的应用范围只有在crP的范围内，才可以用欧拉公式计算压杆的临界力Pcr（临界应力cr）。或PcrE22PPPEE2PP的大小取决于压杆的力学性能。例如，对于Q235钢，可取E=206MPa，P=200MPa，得右图称为欧拉临界应力曲线。实线部分是欧拉公式适用范围的曲线，虚线部分无意义。100PPEσcr)(ilμλOσPP22EcrP三.中长杆的临界应力、临界应力总图1.经验公式.直线型经验公式bacr也有适用范围)(sscrbassbaPsscrba，则：时的柔度为为屈服应力，并令设sscrsP大柔度杆的分界：临界力用欧拉公式求。长细杆），的杆称为大柔度杆（或）满足（1PPPE2basS用经验公式求。界应力的杆为中柔度杆，其临)2(PsbacrscrS界力的杆为小柔度杆，其临）（3由强度条件可确定。度问题，小柔度杆的问题属于强iLcr22Ecr2.临界应力总图scrbacrPSbassEDCBPPE2大柔度杆中柔度杆小柔度杆4)(22222dEAlEIPcrcrmm104di例11-2：一两端铰支的圆截面受压柱d=40mm，①l=1.2m,②l=0.8m,③l=0.5m;试求：三者的临界力。解：两端铰支的μ＝1kN83.541202401022253GPaE200Pilml808.0)2(　　1001202.1)1(Pilml　　　是大柔度杆查表2得：62s力用经验公式求。为中柔度杆，其临界应,PsbacrkNdbaAPcrcr4.2694)(2查表2得：a=304,b=1.12mm104di例11-2：一两端铰支的圆截面受压柱d=40mm，①l=1.2m,②l=0.8m,③l=0.5m;试求：三者的临界力。解：两端铰支的μ＝1GPaE200Silml62505.0)3(　　是大柔度杆kNdPscr3.29542scrS临界应力的杆为小柔度杆，界力的解题步骤如下：求解压杆临界应力或临计算柔度：)1(iL。惯性半径AIi法：确定临界应力的求解方)(2),,力学性质确定的值根据的大小（，比较spsp压杆稳定的临界荷载；代入相应的公式，求解)3(§12-3压杆的稳定计算－一．稳定条件安全系数法确定容许应力:系数法取稳定安全系数为nst,以表示稳定许用应力，则：crstcrcrn为了防止压杆失稳，则必须使压杆的工作应力小于或等于许用应力，即：crcrAP稳定条件压杆的强度条件(强度许用应力)　　则令crcrAP:稳定系数,主要与柔度λ有关，见表11-3AP或　stcrcrncrAP][stcrcrnstcrn][二．稳定计算1.稳定校核：2.确定许可荷载：3.截面设计：（试算法）假定一折减系数值(0与1之间)，由稳定条件计算所需要的截面面积A，然后计算出压杆的长细比λ，根据压杆的长细比查表得到折减系数，再验算是否满足稳定条件。如果不满足，则应重新假定折减系数．重复上述过程，直到满足稳定条件为止。APAPAP或　例11-3如图所示，构架由两根直径相同的圆杆构成，杆的材料为Q235钢，直径d=20mm，材料的许用应力[σ]=170MPa，已知h=0.4m。试校核二杆的稳定性。解：得查表311　　　求二杆之)2(1132442dhdhilABAB＝（1）求二杆的轴力：kNNkNNACAB1144.13160842dhdhilACAC＝MPa170＝得查表311)3(113＝AB272.0＝折减系数ACMPaANABABAB1.8310515.01044.1323＝满足稳定条件kNNkNNACAB1144.13160AC515.0103)466.0536.0(536.0＝AB(4)稳定校核MPaANACACAC5.12810272.0101123＝MPa170＝(插值法)【课堂练习】一圆木柱高l=6m,直径D=20cm，两端铰支，承受轴向荷载P=50kN,试校核其稳定性，许用应力MPa10＝解:得查表311　　　求DlDlil44＝1202080.＝折减系数MPa.D.AN66742080105023＝满足稳定条件例11-4截面为I40a的压杆，材料为16Mn钢，杆长l＝5.6m，在xz平面内失稳时杆端约束情况接近于两端固定，故长度系数可取为；在xy平面内失稳时为两端铰支，试计算压杆所允许承受的轴向压力[P]。650.y,0.1Z;230MPa＝解查P363工字钢表I40a可知:yizimm.722mm159A2186cm.：求zzzyyyilil413110722656503....＝＝－235101596513..＝＝－确定＝根据4131.y用插值法：）（＋1304.131279.0242.0130140279.02740.＝可得：由ANANP）（）＝（－4610186274010230..kN543所以压杆允许的轴向压力为[P]＝543kN作业3P1761.习题7预习本章下几节!