(自己整理)圆锥曲线常考题型总结——配有大题和练习

圆锥曲线大综合第一部分圆锥曲线常考题型和热点问题一．常考题型题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系题型二：弦的垂直平分线问题题型三：动弦过定点问题题型四：过已知曲线上定点的弦的问题题型五：共线向量问题题型六：面积问题题型七：弦或弦长为定值的问题题型八：角度问题题型九：四点共线问题题型十：范围为题（本质是函数问题）题型十一：存在性问题（存在点，存在直线ykxm，存在实数，三角形（等边、等腰、直角），四边形（矩形，菱形、正方形），圆）二．热点问题1.定义与轨迹方程问题2.交点与中点弦问题3.弦长及面积问题4.对称问题5.范围问题6.存在性问题7.最值问题8.定值，定点，定直线问题第二部分知识储备一．与一元二次方程20(0)axbxca相关的知识（三个“二次”问题）1.判别式：24bac2.韦达定理：若一元二次方程20(0)axbxca有两个不等的实数根12,xx，则12bxxa，12cxxa3.求根公式：若一元二次方程20(0)axbxca有两个不等的实数根12,xx，则21,242bbacxa二．与直线相关的知识1.直线方程的五种形式：点斜式，斜截式，截距式，两点式，一般式2.与直线相关的重要内容：①倾斜角与斜率：tany，[0,)；②点到直线的距离公式：0022AxByCdAB（一般式）或00221kxybdk（斜截式）3.弦长公式：直线ykxb上两点1122(,),(,)AxyBxy间的距离：22212121212211(1)[()4](1)ABkxxkxxxxAByyk或4.两直线1111122222:,:lykxblykxb的位置关系：①12121llkk②121212//llkkbb且5.中点坐标公式：已知两点1122(,),(,)AxyBxy，若点,Mxy线段AB的中点，则1112,22xxyyxy三．圆锥曲线的重要知识考纲要求：对它们的定义、几何图形、标准方程及简单性质，文理要求有所不同。文科：掌握椭圆，了解双曲线；理科：掌握椭圆及抛物线，了解双曲线1.圆锥曲线的定义及几何图形：椭圆、双曲线及抛物线的定义及几何性质。2.圆锥曲线的标准方程：①椭圆的标准方程②双曲线的标准方程③抛物线的标准方程3.圆锥曲线的基本性质：特别是离心率，参数,,abc三者的关系，p的几何意义等4.圆锥曲线的其他知识：①通径：椭圆22ba，双曲线22ba，抛物线2p②焦点三角形的面积：p在椭圆上时122tan2FPFSbp在双曲线上时122/tan2FPFSb四．常结合其他知识进行综合考查1．圆的相关知识：两种方程，特别是直线与圆，两圆的位置关系2．导数的相关知识：求导公式及运算法则，特别是与切线方程相关的知识3．向量的相关知识：向量的数量积的定义及坐标运算，两向量的平行与垂直的判断条件等4．三角函数的相关知识：各类公式及图像与性质5．不等式的相关知识：不等式的基本性质，不等式的证明方法，均值定理等五．不同类型的大题（1）圆锥曲线与圆例1.（本小题共14分）已知双曲线的离心率为，右准线方程为（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值…【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．（Ⅰ）由题意，得，解得，∴，∴所求双曲线的方程为.（Ⅱ）点在圆上，圆在点处的切线方程为，化简得.由及得，∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，∴，且，设A、B两点的坐标分别为，则，∵，且，2222:1(0,0)xyCabab333xCl22:2Oxy0000(,)(0)PxyxylC,ABAOB2333acca1,3ac2222bcaC2212yx0000,0Pxyxy222xy00,Pxy0000xyyxxy002xxyy2200122yxxxyy22002xy222000344820xxxxxl2002x20340x22200016434820xxx1122,,,xyxy20012122200482,3434xxxxxxxxcosOAOBAOBOAOB121212010220122OAOBxxyyxxxxxxy.∴的大小为.【解法2】（Ⅰ）同解法1.（Ⅱ）点在圆上，圆在点处的切线方程为，化简得.由及得①②∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，∴，设A、B两点的坐标分别为，则，∴，∴的大小为.（∵且，∴，从而当时，方程①和方程②的判别式均大于零）.练习1：已知点是椭圆的左顶点，直线与椭圆相交于两点，与轴相交于点.且当时，△的面积为.（Ⅰ）求椭圆的方程；212012012201422xxxxxxxxx222200002222000082828143423434xxxxxxxx22002200828203434xxxxAOB900000,0Pxyxy222xy00,Pxy0000xyyxxy002xxyy2200122yxxxyy22002xy222000344820xxxxx222000348820xyyxxl2002x20340x1122,,,xyxy2200121222008228,3434xxxxyyxx12120OAOBxxyyAOB9022002xy000xy220002,02xy20340xA22:109xyCtt:1()lxmymRC,EFxB0mAEF163C（Ⅱ）设直线，与直线分别交于，两点，试判断以为直径的圆是否经过点？并请说明理由.（2）圆锥曲线与图形形状问题例2.1已知A，B，C是椭圆W：24x＋y2＝1上的三个点，O是坐标原点．(1)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；(2)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．解：(1)椭圆W：24x＋y2＝1的右顶点B的坐标为(2,0)．因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分．所以可设A(1，m)，代入椭圆方程得14＋m2＝1，即m＝32.所以菱形OABC的面积是12|OB|·|AC|＝12×2×2|m|＝3.(2)假设四边形OABC为菱形．因为点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，所以可设AC的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)．由2244,xyykxm消y并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则1224214xxkmk，121222214yyxxmkmk.所以AC的中点为M224,1414kmmkk.因为M为AC和OB的交点，所以直线OB的斜率为14k.因为k·14k≠－1，所以AC与OB不垂直．所以OABC不是菱形，与假设矛盾．所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形．练习1：已知椭圆C：)0(12222babyax过点(2，1)，且以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形.(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)设M,)xy（是椭圆C上的动点，P,0)p（是X轴上的定点，求MP的最小值及取最小值时点M的坐标.AEAF3xMNMNB（3）圆锥曲线与直线问题例3.1已知椭圆22:24Cxy，（1）求椭圆C的离心率.（2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线2y上，且OAOB，求直线AB与圆222xy的位置关系，并证明你的结论.解析：⑴椭圆的标准方程为：22142xy，2a，2b则2c，离心率22cea;⑵直线AB与圆222xy相切.证明如下：法一：设点AB的坐标分别为002xyt，其中00x.因为OAOB⊥，所以0OAOB，即0020txy，解得002ytx.当0xt时，202ty，代入椭圆C的方程，得2t,故直线AB的方程为2x.圆心O到直线AB的距离2d.此时直线AB与圆222xy相切.当0xt时，直线AB的方程为0022yyxtxt，即0000220yxxtyxty.圆心O到直线AB的距离00220022xtydyxt.又220024xy，002ytx，故2200000242220000022002422481642yxxxxdyxxxyxx.此时直线AB与圆222xy相切.法二：由题意知，直线OA的斜率存在，设为k，则直线OA的方程为ykx，OAOB⊥，①当0k时，20A，易知02B，此时直线AB的方程为2xy或2xy，原点到直线AB的距离为2，此时直线AB与圆222xy相切；②当0k时，直线OB的方程为1yxk，联立2224ykxxy得点A的坐标22221212kkk或22221212kkk；联立12yxky得点B的坐标22k，由点A的坐标的对称性知，无妨取点A22221212kkk进行计算，于是直线AB的方程为：22222212122222112212kkkkyxkxkkkkk，即22212112220kkxkkyk，原点到直线AB的距离2222222212112kdkkkk,此时直线AB与圆222xy相切。综上知，直线AB一定与圆222xy相切.法三：①当0k时，20A，易知02B，此时22OAOB，222222AB，原点到直线AB的距离22222OAOBdAB，、此时直线AB与圆222xy相切；②当0k时，直线OB的方程为1yxk，设1122AxyBxy，则211OAkx，222121OBkyk，联立2224ykxxy得点A的坐标22221212kkk或22221212kkk；于是22221112AkOAkxk，221OBk,2222241221411212kkABkkk，所以22222212112222112kkOAOBkdABkk,直线AB与圆222xy相切；综上知，直线AB一定与圆222xy相切练习1：已知椭圆2222:1(0)xyCabab过点(0,1)，且长轴长是焦距的2倍.过椭圆左焦点F的直线交椭圆C于A，B两点，O为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线AB垂直于x轴，判断点O与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由；（Ⅲ）若点O在以线段AB为直径的圆内，求直线AB的斜率k的取值范围.（4）圆锥曲线定值与证明问题例4.1已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为32，且椭圆C上的点到两个焦点的距离之和为4．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设A为椭圆C的左顶点，过点A的直线l与椭圆交于点M，与y轴交于点N，过原点与l平行的直线与椭圆交于点P．证明：2||||2||AMANOP．解：（Ⅰ）设椭圆C的标准方程为22221(0)xyabab，由题意知222,3,224,abccaa