4资本市场均衡与资本资产定价模型

4资本市场均衡与资本资产定价模型投资科学中有两类基本问题，一类是某种情形下确定昀优的决策方案。这类问题包括怎样设计昀优的投资组合，怎样为一项投资项目设计出昀优的管理战略，怎样对一组潜在的投资项目进行选择。第二类问题就是确定某项资产合理的、无套利的、公平的或者均衡的价格。马克维茨认为，投资者将持有有效的资产组合。在此基础上，夏普等人提出的CAPM及罗斯提出的APT等等回答了后一个问题。4.1标准资本资产定价模型4.1.1基本假设及其说明一、假设条件（1）市场上有K位投资者，每位投资者都是马柯维茨模型中的投资者。即投资者的效用函数仅与资产的均值和方差有关，在同一风险水平下，选择收益率较高的证券组合；在同一收益率水平下，选择风险较低的证券组合。且所有投资者具有相同单一投资期限。（2）所有投资者都是价格接受者。也即证券市场是完全竞争市场，单个投资者不能通过买卖行为影响资产价格，但全体投资者是通过他们的行为决定价格。（3）市场上有种风险资产，投资者对这些资产的投资期收益率的期望、方差和协方差的预期是相同的，即一致性（同质性）预期假设成立。N1（4）信息可以无成本地获得，资产均可无限分割，没有交易成本，没有税收，没有通货膨胀。（5）允许无限卖空。（6）存在无风险资产。投资者可以以无风险利率贷出（即投资）或者借入任意数量的该种资产，利率对所有的投资者都是一样的。二、假设条件的说明（1）这些假设条件是CAPM的标准假设，非常严格，而且一些条件明显与实际情况是不相符合的。（2）假设（3）是以有效市场假说为基础的。因此，现实证券市场的有效性程度对CAPM具有很大的影响。（3）以上的诸多假设条件中有两个假设条件在资本资产定价模型的推导中起到了直接的、关键的作用：①投资者对于资产的预期收益率、标准差和协方差的预期具有一致性。因此，他们以昀优的方式按同样的相同比例持有风险资产。②投资者的行为遵循昀优化原则，在市场均衡状态下，证券价格的调整使得当投资者持有昀优资产组合时，每种证券的总需求等于总供给。4.1.2市场组合和市场均衡一、市场组合假定每个投资者都是马克维茨模型下的均值—方差昀大化者，每个投资者对资产的风险—收益特征具有一致性，即对每项资产的收益的均值、方差以及协方差的看法都是一致的；任何人都有且仅有一个借贷的无风险利率，无交易成本。由单基金定理可以知道，所有的投资者都将会购买单2一的由风险资产组成的基金，而且他们可能会以无风险利率借入或者贷出资金。但由于投资者的风险厌恶程度不同，他们可能会选择这两种资产（风险资产和无风险资产）不同比例的组合。同时，根据以上两个假设，每位投资者所持有的风险资产的相对比例都是一样。因此，使资产市场出清的唯一方法就是：风险资产的昀优相对比例是它们的市场价值的比例。按市场价值的同比例持有所有资产的资产组合，就是市场组合。这是是隐含在CAPM模型中的关键思想。市场组合是所有资产的全体。在权益证券市场中，市场组合是所有股票的总和。如果每个投资者都只购买一只基金，那么他们购买资产的总和就是市场，也就是说，单基金就等同于市场，市场组合必须包含市场中任何一只股票，且比例与整个市场中每只股票所占的比例相同。市场组合中每项资产的权重等于此项资产的总资本价值与整个市场的资本价值的比率。这些权数被称为资本化权重。表4.1资本化权重证券公开发行的股份数市场相对份额价格资本化价值资本化权重A100001/86.00600003/20B300003/84.001200003/10C400001/25.5022000011/20总计8000014000001二、市场均衡市场组合这一结论是怎样得出的呢？我们又如何在一些必需的数据不被知晓的前提下解决这一问题呢？这一答案可以从市场均衡中获得。3资产的收益取决于其初始价格和期末价格，其他的投资者使用相同的参数估计来解决均值—方差问题，然后在市场发出订单以购入资产组成他们的投资组合。如果发出的订单与可获取的数目不同，则价格一定发生变化了。供小于求的资产价格上升，而供过于求的资产价格下降。这些价格的变化会直接影响资产收益的估值，从而使得投资者重置他们的昀优投资组合。这个过程一直持续到需求与供给刚好匹配，也即，过程持续直至市场均衡产生。4.1.3资本市场线由前面的分析可以知道，风险资产的唯一的有效基金是市场组合。结合单基金定理和市场组合的概念，可以得到图1：rσfrM•图4.1资本市场线该图表示，有效集是一条直线，而且起始于无风险资产点，而且通过市场组合。这条直线为资本市场线（CML）。这条线显示了有效资产或者资产组合的期望收益同风险（以标准差来衡量）之间的关系，也可以看成是一条定价线，因为价格必须调整以使得有效资产落在这条线上。这条线的直观含义是，当风险上升时，相应的期望收益率同时上升。资本市场线可以表述为，4MffMrrrrσσ−=+(4.1)其中，Mr和Mσ是市场收益率的期望值和标准差，而r和σ是任意有效资产收益率的期望值和标准差。资本市场线的斜率可以表示为()MfKrrMσ=−，常常被称为风险价格或风险的市场价格。资本市场线也可以转化为，()fMfMrrrrσσ−=−（4.2）其中，frr−为收益率均值高于无风险收益率的部分，称为风险资产（组合）的风险升水或风险溢价。Mfrr−为市场组合的风险升水。说明有效集中的任何均方差度量的风险都能按风险的市场价格得到补偿。资本市场线实际上就是可行集的有效边界。考虑一个金属矿产（比如锰矿）的风险投资项目。股票价格为875美元，一年后的期望收入为1000美元，但由于钻探点的锰矿储量有很高的不确定性，收益的标准差为σ=40%，现在的无风险利率为10%，市场组合期望收益率为17%，标准差为12%。可以将此项风险投资与资本市场线上的点进行比较。给定σ的值，资本市场线上的预期的期望收益率是：()fMfMrrrrσσ=+−=0.10+0.4×[（0.17-0.10）/0.12]=33%而此项目实际的期望收益率为r=1000/875-1=14%。在图形上可以看出，此项风险投资的点在资本市场线下方。4.1.4标准资本资产定价模型资本市场线刻画了有效投资组合的期望收益率和标准差之间的关系。5但并没有标明单个资产的期望收益率与风险之间的关系。CAPM模型对任何单个资产的期望收益率与风险的关系进行了准确的刻画。一、标准资本资产定价模型的基本内容如果市场组合M有效，那么任意一项资产的期望收益率iir满足：(ifiMfrrrr)β−=−（4.3）其中，2iMiMσβσ=二、标准资本资产定价模型的推导1、推导方法一rM•σfr图4.2资产组合曲线对于任意α，考虑一个以α的比例投资于资产i和以(1)α−的比例投资于市场组合M的投资组合（允许0α，即借入无风险资产）。那么，此项资产的期望收益率为，(1)iMrrrααα=+−收益率的标准差为，1222222(1)(1)iiMασασαασασM⎡⎤=+−+−⎣⎦如图4.2所示，当α变化时，(,)rαασ在rσ−图像上的轨迹是一条曲线。特别地，当0α=时，投资组合就是市场组合M。这条曲线不能与资本市场线相交，否则的话，位于资本市场线上方的点所表示的投资组合会违背资6本市场线作为可行集的有效边界这一性质。所以，当α等于0时，曲线必须同资本市场线相切于点M。这种相切是下面推导的基本条件。在切点，可以得到曲线在点M的斜率和资本市场线在点M的斜率相等。这样，iMdrrrdαα=−22(12)(1)iiMddααMσασασασασ+−+−=因此，20|iMMMddαασσσασ=−=因为，drdrddddααααασσα=就可以得到，02()|iMMiMMdrrdαασσασσ=−=−这个斜率必须等于资本市场线的斜率。因此，2()MfiMMiMMMrrrrσσσσ−−=−(※)从(※)式中解出ir，可以得到昀后的结论：2()(MfifiMiMfMrrrrrrσβσ−=+=−)2、推导方法二在允许卖空及投资者可以以无风险利率无限借贷的条件下，可以通过斜率的昀大化来求出昀优资产组合。tanpfprrθσ−=对组合中的所有证券求导，并令每一方程等于0，得到下列一组联立方程形式：21122(iiiiNNiiXXXXrλσσσσ+++++=−)fr（4.4）721122iiiiNNiXXXXiMσσσσ+++++=σ则（4.4）式可以写成，iMifrrλσ=−（4.5）等式（4.5）对所有的证券（组合）都成立，当然对市场组合成立，即：2Mifrrλσ=−或2ifMrrλσ−=（4.6）将（4.6）式代入（4.4）式中可得，(MiMi2fiffifMrrrrrrrσβσ−=+=+−)三、资本资产定价模型的定价形式1、CAPM的定价形式CAPM是一个定价模型，然而，标准的CAPM模型中却没有明确的价格变量——只有期望收益率。设为资产的初始价格，Q为资产的出卖价格。这里是已知的而Q是一个随机变量，则其收益率为，PP()rQPP=−将此式代入到CAPM中并解出可得，P1()fMfQPrrrβ=++−（4.7）这就是CAPM的定价形式。该定价公式在形式上可以由确定性情况下一般的贴现公式推导出。在确定性情形下，采用的贴现因子是1(1)fr+。而在不确定情形下，合理的贴现率是1()fMfrrrβ++−，这可以被认为是根据风险调整后的利率。82、线性定价与确定性等价形式CAPM是一个线性定价公式。这就意味着两项资产和的价格是它们的价格的和，一项资产的倍数的价格是资产价格的相同倍数。这种线性定价关系可以通过以下确定性等价形式来理解。假定有一项资产，其价格为，期末价值为，其中为已知，Q为一个随机变量。由PQP1QrP=−可得，2cov[1,]MMQPrβσ−=该式等价于2cov[,]MMQrβσ=将该式代入到式（4.7）中并等式并解出，可得确定性等价定价公式：P2cov(,)()11MMffMQrrrPQrσ−⎡=−⎢+⎣⎦⎤⎥(4.8)该式的括号中的表达式被称为Q的确定性等价，可以视为一个确定性的金额。这样，我们就可以用一般的贴现因子1(1)fr+来计算价格。因为括号中的两项对Q是线性的，所以，我们可以认为（4.7）式的定价公式具有线性关系。线性关系的原因是无套利原则：如果两项资产和的价格不等于单项资产的价格和，就会产生套利。P4.1.5证券市场线及风险结构一、证券市场线CAPM所描述的单个资产的r与β之间的线性关系称为证券市场线。证券市场线的方程可以表示如下：2()(MfifiMfiMfMrrrrrrrσβσ−=+=+−)（4.9）91rM•βfr图4.3证券市场线证券市场线的斜率为2MfMrrσ−。证券市场线上每一点都表示市场均衡条件下，其协方差为iMσ的证券组合所对应的收益率期望值。或者说，在均衡假设成立的条件下，所有资产都必须在证券市场线上。证券市场线给出了CAPM中资产的风险回报结构，说明了资产的风险是它与市场的协方差的函数，或者说是β的函数。说明了“高风险、高收益”的基本原理。二、风险结构CAPM包含了资产收益的一个特殊的结构特征。将资产i的收益率表示为，()ifiMfrrrriβε−=−+（4.10）式中的iε的加入是为了使得方程的成立。对（4.10）求期望值，由CAPM可以知道，()0iEε=，cov(,)0iMεσ=，对（4.10）式求方差可以得到，222var()iiMiσβσε=+（4.11）对于投资组合，也可以得到，222var()ppMpσβσε=+（4.12）10这样，一项资产或资产组合的风险就可以通过两部分来刻画：22pMβσ为系统性风险，var()pε为非系统性风险。资本市场线上的点都是只有系统性风险的而没有非系统性风险。期望收益率为()fMfrrrrβ=+−。现在考虑一项资产具有与资本市场线上具有同样β值的资产，根据CAPM，这些资产都具有相同的期望收益率r。然而，如果它们具有非系统性风险，就不会落在资本市场线上。带有非系统性风险的资产••Mσr仅有系统性风险的资产••图4.4系统性风险和非系统性风险4.1.6标准CAPM的含义及