一元二次方程讲义——绝对经典实用

初中数学:..第1页共34页..:一元二次方程基础知识1、一元二次方程方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2的方程，一般地，这样的方程都整理成为形如axbxca200（）的一般形式，我们把这样的方程叫一元二次方程。其中axbxc2，，分别叫做一元二次方程的二次项、一次项和常数项，a、b分别是二次项和一次项的系数。如：24102xx满足一般形式axbxca200（），2412xx，，分别是二次项、一次项和常数项，2，－4分别是二次项和一次项系数。注：如果方程中含有字母系数在讨论是否是一元二次方程时，则需要讨论字母的取值范围。2.一元二次方程求根方法（1）直接开平方法形如xmm20（）的方程都可以用开平方的方法写成xm，求出它的解，这种解法称为直接开平方法。（2）配方法通过配方将原方程转化为()xnmm20（）的方程，再用直接开平方法求解。配方：组成完全平方式的变形过程叫做配方。配方应注意：当二次项系数为1时，原式两边要加上一次项系数一半的平方，若二次项系数不为1，只需方程两边同时除以二次项系数，使之成为1。（3）公式法求根公式：方程axbxca200（）的求根公式xbbacabac224240（）步骤：1）把方程整理为一般形式：axbxca200（），确定a、b、c。2）计算式子bac24的值。3）当bac240时，把a、b和bac24的值代入求根公式计算，就可以求出方程的解。（4）因式分解法把一元二次方程整理为一般形式后，方程一边为零，另一边是关于未知数的二次三项式，如果这个二次三项式可以作因式分解，就可以把这样的一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解，这种解方程的方法叫因式分解法。3、一元二次方程根的判别式的定义运用配方法解一元二次方程过程中得到2224()24bbacxaa，显然只有当240bac时，才能直接开初中数学:..第2页共34页..:平方得：22424bbacxaa．也就是说，一元二次方程20(0)axbxca只有当系数a、b、c满足条件240bac时才有实数根．这里24bac叫做一元二次方程根的判别式．4、判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)axbxca的根由其系数a、b、c确定，它的根的情况（是否有实数根）由24bac确定．设一元二次方程为20(0)axbxca，其根的判别式为：24bac则①0方程20(0)axbxca有两个不相等的实数根21,242bbacxa．②0方程20(0)axbxca有两个相等的实数根122bxxa．③0方程20(0)axbxca没有实数根．若a，b，c为有理数，且为完全平方式，则方程的解为有理根；若为完全平方式，同时24bbac是2a的整数倍，则方程的根为整数根．说明：⑴用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来使用，当方程有两个不相等的实数根时，0；有两个相等的实数根时，0；没有实数根时，0．⑵在解一元二次方程时，一般情况下，首先要运用根的判别式24bac判定方程的根的情况（有两个不相等的实数根，有两个相等的实数根，无实数根）．当240bac时，方程有两个相等的实数根（二重根），不能说方程只有一个根．①当0a时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当0a时抛物线开口向下顶点为其最高点．5、一元二次方程的根的判别式的应用一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用：⑴运用判别式，判定方程实数根的个数；⑵利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数值或取值范围；⑶通过判别式，证明与方程相关的代数问题；（4）借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题，最值问题．6、韦达定理如果20(0)axbxca的两根是1x，2x，则12bxxa，12cxxa．（隐含的条件：0）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设1x，2x是方程20xpxq的两个根，则12xxp，12xxq．7、韦达定理的逆定理以两个数1x，2x为根的一元二次方程（二次项系数为1）是21212()0xxxxxx．初中数学:..第3页共34页..:一般地，如果有两个数1x，2x满足12bxxa，12cxxa，那么1x，2x必定是20(0)axbxca的两个根．8、韦达定理与根的符号关系在24bac≥0的条件下，我们有如下结论：⑴当0ca时，方程的两根必一正一负．若0ba≥，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若0ba，则此方程的正根小于负根的绝对值．⑵当0ca时，方程的两根同正或同负．若0ba，则此方程的两根均为正根；若0ba，则此方程的两根均为负根．更一般的结论是：若1x，2x是20(0)axbxca的两根（其中12xx），且m为实数，当0时，一般地：①121()()0xmxmxm，2xm②12()()0xmxm且12()()0xmxm1xm，2xm③12()()0xmxm且12()()0xmxm1xm，2xm特殊地：当0m时，上述就转化为20(0)axbxca有两异根、两正根、两负根的条件．其他有用结论：⑴若有理系数一元二次方程有一根ab，则必有一根ab（a，b为有理数）．⑵若0ac，则方程20(0)axbxca必有实数根．⑶若0ac，方程20(0)axbxca不一定有实数根．⑷若0abc，则20(0)axbxca必有一根1x．⑸若0abc，则20(0)axbxca必有一根1x．9、韦达定理的应用⑴已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值；⑵已知方程，求关于方程的两根的代数式的值；⑶已知方程的两根，求作方程；⑷结合根的判别式，讨论根的符号特征；⑸逆用构造一元二次方程辅助解题：当已知等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理；⑹利用韦达定理求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱10、整数根问题对于一元二次方程20axbxc(0)a的实根情况，可以用判别式24bac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．方程有整数根的条件：如果一元二次方程20axbxc(0)a有整数根，那么必然同时满足以下条件：⑴24bac为完全平方数；初中数学:..第4页共34页..:⑵242bbacak或242bbacak，其中k为整数．以上两个条件必须同时满足，缺一不可．另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a、b、c均为有理数)11、一元二次方程的应用1．求代数式的值；2.可化为一元二次方程的分式方程。步骤：1）去分母，化分式方程为整式方程（一元二次方程）。2）解一元二次方程。3）检验3.列方程解应用题步骤：审、设、列、解、验、答●夯实基础例1把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数，一次项系数和常数项。（1）272yy（2）21202xx（3）()()xx550（4）()()512152yyy（5）()mxnmxx2210（是未知数）例2已知关于x的方程22(2)1axaxx是一元二次方程，求a的取值范围．板块一一元二次方程的定义初中数学:..第5页共34页..:例3若一元二次方程222(2)3(15)40mxmxm的常数项为零，则m的值为_________．●能力提升例4关于x的方程kxkx22211()是什么方程？它的各项系数分别是什么？例5已知方程2240abxxx是关于x的一元二次方程，求a、b的值．例6若方程（m-1）x2+x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（）A．m≠1B．m≥0C．m≥0且m≠1D．m为任何实数●培优训练例7m为何值时，关于x的方程2(2)(3)4mmxmxm是一元二次方程．例8已知方程20ababxxab是关于x的一元二次方程，求a、b的值．例9关于x的方程（m+3）xm2-7+（m-3）x+2=0是一元二次方程，则m的值为解：∵该方程为一元二次方程，∴m2-7=2，解得m=±3；当m=-3时m+3=0，则方程的二次项系数是0，不符合题意；所以m=3．初中数学:..第6页共34页..:例10（2000•兰州）关于x的方程（m2-m-2）x2+mx+1=0是一元二次方程的条件是（）A．m≠-1B．m≠2C．m≠-1或m≠2D．m≠-1且m≠2●课后练习1、m为何值时，关于x的方程2(2)(3)4mmxmxm是一元二次方程．2、已知关于x的方程22(2)1axaxx是一元二次方程，求a的取值范围．3、已知关于x的方程22()(2)xaax是一元二次方程，求a的取值范围．4、若2310ababxx是关于x的一元二次方程，求a、b的值．5、若一元二次方程222(2)3(15)40mxmxm的常数项为零，则m的值为________●夯实基础例1、（2012•鄂尔多斯）若a是方程2x2-x-3=0的一个解，则6a2-3a的值为（）A．3B．-3C．9D．-9解：若a是方程2x2-x-3=0的一个根，则有2a2-a-3=0，变形得，2a2-a=3，故6a2-3a=3×3=9．故选C．例2（2011•哈尔滨）若x=2是关于x的一元二次方程x2-mx+8=0的一个解．则m的值是（）板块二一元二次方程的解与解法初中数学:..第7页共34页..:A．6B．5C．2D．-6解：把x=2代入方程得：4-2m+8=0，解得m=6．故选A例3用直接开平方法解下列方程（1）3902x（2）()x2302（3）231182()x(4)22(31)85x(5)2269(52)xxx(6)23(1)27x例4先配方，再开平方解下列方程（1）xx2440（2）2102yy（3）2372xx(4)211063xx(5)23123yy(6)2250xx例5用公式法解下列方程（1）xx2320（2）2122xx（3）()xx132初中数学:..第8页共34页..:(4)(5)(7)1xx(5)1(61)432(2)2xxxx(6)210xx例6用因式分解法解下列方程（1）23302xx（2）24545002xx（3）tt22220(4)2(23)2(31)60xx．(5)223421xaaxa(6)229(2)16(1)0xx●能力提升例7（2011•乌鲁木齐）关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+|a|-1=0的一个根是0，则实数a的值为（A）A．-1B．0C．1D．-1或1例8关于x的一元二次方程（a-1）x2+ax+a2-1=0的一个根是0，则a值为（C）A．1B．0C．-1D．±1例9方程x2+ax+b=0与x2+cx+d=0（a≠c）有相同的根α，则α=______________初中数学:..第9页共34页..:例10已知a、β是方程x2-2x-4=0的两个实数根，则a3+8β+6的值为（D）A．-1B．2C．22D．30例11关于x的一元二次方程（m-2）xm^-2+2mx-1=0的根是_______________例12解方程：22(32)60mxmxm初中数学:..第10页共34页..:例13解方程22(32)