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三角形的证明知识梳理1．全等三角形的判定定理⑴三条边对应相等的两个三角形全等（边边边或错误!未找到引用源。）⑵两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（边角边或错误!未找到引用源。）⑶两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（角边角或错误!未找到引用源。）⑷两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（角角边或错误!未找到引用源。）⑸斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（斜边、直角边或错误!未找到引用源。）2．角平分线的性质⑴角平分线上的点到这个角的两边距离相等如图：若点错误!未找到引用源。在角平分线，则错误!未找到引用源。⑵角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。如图：若错误!未找到引用源。，则点错误!未找到引用源。在角平分线3．等腰三角形的性质⑴等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）⑵如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）⑶等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）4.等边三角形的性质和判定⑴等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于错误!未找到引用源。⑵三个角都相等的三角形是等边三角形；⑶有一个角是错误!未找到引用源。的等腰三角形是等边三角形⑷在直角三角形中，如果一个锐角等于错误!未找到引用源。，那么它所对的直角边等于斜边的一半。CBDAjGBAECD【题型一、三角形全等的判定定理证明三角形全等】【例1】已知，如图，AB=CD，DF⊥AC于F，BE⊥AC于E，DF=BE。求证：AF=CE。【方法技巧】在三角形中证明边相等的问题可以转化为证明有关三角形全等，根据已知条件选择适当的三角形全等判定定理，可以事半功倍。变式训练已知，如图，AB、CD相交于点O，△ACO≌△BDO，CE∥DF。求证：CE=DF。【题型二、作平行线构造三角形全等】【例2】如图2-2所示．△ABC是等腰三角形，D，E分别是腰A及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交底BC于G．求证：GD=GE【方法技巧】三角形全等问题中，如果已知中没有直接给出全等的三个所需条件，这时就需要根据已知条件去构造出所需条件，一般可以作平行线、中线、垂直、截取线段等。如，若题设中含有中点可以过中点作平行线，对直角三角形,有时可作出斜边上的中线．变式训练如图2-5所示．在等边三角形ABC中，AE=CD，AD，BE交于P点，BQ⊥AD于Q．求证：BP=2PQ．FEACDBFEODCBABCADMEBCADFE21BCAD【题型三、截长补短构造三角形全等】【例2】如图，已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且∠BAE=2∠DAM．求证：AE=BC+CE．【方法技巧】证明一条线段等于两条线段和的基本方法有两种：(1)通过添辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和(BC+CE)，再证所构造的线段与求证中那一条线段相等．(2)通过添辅助线先在求证中长线段(AE)上截取与线段中的某一段(如BC)相等的线段，再证明截剩的部分与线段中的另一段(CE)相等变式训练如图，在△ABC中，∠C=2∠B，∠1=∠2，证明：AB=AC+CD【例3】如图，已知点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，并且AF平分∠EAD,求证：BE+DF=AE【方法技巧】1、对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形；2、若题设中含有垂线、角平分线等条件，可以试着用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形．变式训练如图,已知：在△ABC中，∠BAC=45°,AD⊥BC，若BD=3，DC=2，求△ABC的面积．变式训练在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ．已知，如图，四边形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，其中CE=CF，G是CD与EF的交点，求证：△BCF≌△DCECBADBOPCQA如图，四边形ABCD中，AB=AD，AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，图中有没有和△ABE全等的三角形？请说明理由。如图，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上一动点（点G与C、D不重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于H。求证：①△BCG≌△DCE②BH⊥DE己知，△ABC中，AB=AC，CD⊥AB，垂足为D，P是BC上任一点，PE⊥AB，PF⊥AC垂足分别为E、F，求证：①PE+PF=CD.②PE–PF=CD.已知：如图，点D在△ABC的边CA的延长线上，点E在BA的延长线上，CF、EF分别是∠ACB、∠AED的平分线，且∠B=30°，∠D=40°，求∠F的度数。FEDCAB┐FEDCABGHFEDCABGPFEDCABGP