信号与系统第一章

11.5连续时间与离散时间系统一.系统（Continuous-TimeandDiscrete-TimeSystems）系统是非常广泛的概念。通常将若干相互依赖，相互作用的事物所组成的具有一定功能的整体称为系统。它可以是物理系统，也可以是非物理系统。离散时间系统[]xn[]yn离散时间系统：输入信号与输出响应都是离散时间信号的系统。输入信号与输出响应都是连续时间信号的系统。连续时间系统()xt()yt连续时间系统：本课程所研究的对象——LTI（LinearTime－InvariantSystems）系统就是这样的一类系统。•系统分析的任务：•1.求特定系统对给定输入(激励)的响应•2.从已知系统的激励与响应，确定系统的特性x(t)y(t)=?系统系统分析x[n]y[n]y(t)x(t)？系统综合x[n]y[n]二.系统的表示¾系统的表示方法1.方程2.电系统的电路图3.方框图(模拟图)，即用运算符号表示的运算关系.常用的运算符号有:a∫DT+这些方法可以相互转换可以通过对简单系统（子系统）的分析并通过子系统互联而达到分析复杂系统的目的。也可以通过将若干个简单子系统互联起来而实现一个相对复杂的系统。这一思想对系统分析和系统综合都是十分重要的。三.系统的互联（InterconnectionofSystems）现实中的系统是各式各样的，其复杂程度也大相径庭。但许多系统都可以分解为若干个简单系统的组合。2.并联(parallelinterconnection)ⅠⅡ⊕()xt[]xn()yt[]yn1.级联(cascadeinterconnection)ⅠⅡ()xt[]xn()yt[]yn23.反馈联结(Feedbackinterconnection)Ⅱ⊕[]xn()xt()yt[]ynⅠ工程实际中也经常将级联、并联混合使用，如：ⅠⅡIII⊕Ⅳ在任何时刻，系统的输出都只与当前时刻的输入有关，而与该时刻以外的输入无关，则称该系统是无记忆系统。否则就是记忆系统，即（memorysystems或systemswithmemory)。如果一个系统的输出响应不仅与当时的输入有关,而且与该时刻以外的其它时刻的输入有关，则系统是记忆的。1.6系统的基本性质(BasicSystemProperties)1.记忆系统与无记忆系统(memorysystemsandmemorylesssystems)例如：1()()tytxdCττ−∞=∫（电容）()(1)ytxt=−RC、RLC电路[]()nkynxk=−∞=∑（累加器）[][][1]ynxnxn=−−（差分器）等都是记忆系统()();ytkxt=()()xtyte=()sin[()];ytxt=2()()ynxn=等都是无记忆系统在无记忆系统中有一种特例，即任何时刻系统的输出响应与输入信号都相同，即有,或这样的无记忆系统称为恒等系统(identitysystem)。()()ytxt=[][]ynxn=2.可逆性与逆系统(Inveritibilityandinversesystems)如果一个系统对任何不同的输入都能产生不同的输出，即输入与输出是一一对应的，则称该系统是可逆系统(invertiblesystems)。如果一个系统对两个或两个以上不同的输入信号能产生相同的输出，则系统是不可逆的，称为不可逆系统(noninvertiblesystems)。还原为。输入时,；输入时,。2()()ytxt=是不可逆系统，因为有两个不同的()xt()xt−[][][1]ynxnxn=−也是不可逆的，因为[]nδ[]0yn=[1]nδ−[]0yn=[][2]ynxn=是不可逆系统，因为无法从[2]xn[]xn()()dxtytdt=不可逆；也是不可逆系统。()0yt=输入和能产生相同的输出。3如果一个可逆系统与另一个系统级联后构成一个恒等系统，则称后者是前者的逆系统(inversesystem)。ⅠⅡ()xt[]xn()yt[]yn()xt[]xn例如:1()()2ytxt=是可逆系统，其逆系统是:()2()ytxt=[]()nkynxk=−∞=∑是可逆系统，其逆系统是:[][][1]ynxnxn=−−判断系统是否可逆一般是困难的，无有效的办法判定系统是否可逆。001()():()()():.....()()()()():()tytaxtytxtaynnynxnndxtytxdytdtττ−∞==−=+==∫的逆系统为的逆系统为的逆系统为该系统不可逆如果一个系统在任何时刻的输出都只与当时这个时刻的输入以及该时刻以前的输入有关，而和该时刻以后的输入无关就称该系统是因果的(causal)。否则就是非因果的(noncausal)。3.因果性(causality)一般说来，非因果系统是物理不可实现的。[][]ynxn=−0n∵时决定于以后时刻的输入。[]yn[][][1];ynxnxn=−+()(2)ytxt=是非因果系统。RLC电路,,都是因果系统。[][][1]ynxnxn=−−[][]nkynxk=−∞=∑离散时间系统判断方法：因果系统：y[n]只与x[n],x[n-1],x[n-2],….有关连续时间系统判断方法：因果系统：y(t)只与x(t),x(t-t0)有关,（这里t0是正实数）4.稳定性(stability)如果一个系统当输入有界时，产生的输出也是有界的，则该系统是稳定系统(stablesystem)。否则，就是不稳定系统(unstablesystem)。例如：单摆、RC电路都是稳定系统；也是稳定系统。[][1]ynxn=−[][],nkynxk=−∞=∑()(),()()tytxdyttxtττ−∞==∫都是不稳定系统。如果一个系统当输入信号有一个时移时，输出响应也产生同样的时移。除此之外，输出响应无任何其它变化，则称该系统是时不变的(time-invariant)。否则就是时变的(time-varying)。工程实际中总希望所设计的系统是稳定的。因此稳定性对系统来说是非常重要的。5.时不变性(Time-invariance)即：若()(),xtyt→00()()xttytt−→−则系统是时不变的。4检验一个系统时不变性的步骤:1.令输入为，根据系统的描述，确定此时的输出。2.将输入信号变为再根据系统的描述确定输出。3.根据自变量变换，检验是否等于。1()xt1()yt2()yt2()yt10()ytt−210()(),xtxtt=−例如：判断是否是时不变的当时，[][1][]ynnxn=+1[][]xnxn=11[][1][]ynnxn=+2[][]xnxn=时，22[][1][]ynnxn=+由于100102[][1][][]ynnnnxnnyn−=−+−≠∴系统是时变的。当令210[][]xnxnn=−则有：210[][1][]ynnxnn=+−又例：当第一次输入时，输出当第二次输入时，输出()()ytxt=−1()xt11()()ytxt=−210()()xtxtt=−2210()()()ytxtxtt=−=−−而该系统是时变的。101010()[()]()yttxttxtt−=−−=−∴判断系统)()(txty−=是不是时不变系统。解:设)()(1tutx=)(1tx0t)()(1tuty−=)2()2()(12−=−=tutxtx)2()(2−−=tuty)2()2(1+−=−tuty)()(12tyty≠所以系统是时变系统)(1ty0t)(2tx2t)(2ty-2t)2(1−ty2t例:当时，时由于∴系统是时不变的。()sin[()]ytxt=11()sin[()]ytxt=2210()sin[()]sin[()]ytxtxtt==−1()()xtxt=210()()()xtxtxtt==−21010()()sin[()]ytyttxtt=−=−判断系统)2()(txty=是不是时不变系统。解:设)2()2()(1−−+=tututx)1()1()(1−−+=tututy)4()()2()(12−−=−=tututxtx)2()()(2−−=tututy)3()1()2(1−−−=−tututy21()(2)ytyt≠−所以系统是时变系统)(1tx-22t)2(1−ty13t)(2tx4t)(2ty2t)(1ty-11t5(1)y(t)=x(2t)(2)y(t)=cost·x(t)(3)y(t)=4x2(t)+3x(t)(4)y(t)=2t·x(t)[例]试判断下列系统是否为时不变系统时变系统时变系统时不变系统时变系统分析：判断系统是否为时不变系统，只需判断当输入激励x(t)变为x(t-t0)时，相应的输出响应y(t)是否变为y(t-t0)。6.线性（Linearity）（连续时间系统，离散的类似）11()()xtyt→22()()xtyt→121211(1)()()()()(2)()()xtxtytytaxtayt+→+→其中a是常数（包括复数），满足此关系的系统是线性的。线性系统具有零输入零输出特性：令若1100()0()0xtyt=→=例：考虑一个系统s，其输入和输出的关系为：（1）111()()()xtyttxt→=()()yttxt=线性的判断：考虑任意两次输入（2）（3）第三次输入（4）输出222()()()xtyttxt→=312()()()xtxtxt=+(1)(4)3312(2)&(3)12()()(()())()()yttxttxtxtytyt==+=+第四次输入（5）输出：41()()xtaxt=(1)(5)(2)4411()()()()yttxttaxtayt===例：考虑另一个系统s，其输入和输出的关系为：（1）2111()()()xtytxt→=2()()ytxt=线性的判断：考虑任意两次输入（2）（3）第三次输入（4）输出2222()()()xtytxt→=312()()()xtxtxt=+(1)(4)223312(2)&(3)121212()()(()())()()2()()()()ytxtxtxtytytxtxtytyt==+=++≠+例如：设系统为{}][Re][nxny=，判断它是不是线性系统。设][][][1njsnrnx+=][][1nrny=设][][][][,12nsnjrnaxnxja−===][][2nsny−=][][][21nynjrnay≠=不满足齐次性，所以系统为非线性系统。6因为，若输入为则12()()xtxt+2212121()[(()())]()()ytxtxtxtxt′=++22212121212[()()][()][()]()()()()xtxtxtxtxtxtxtxt′′′′+=≠++满足齐次性但不满足可加性。21()[()]()ytxtxt′=其中a，b是常数满足此关系的系统是线性的。线性性的判断方法2：如果一个系统是线性的，当我们能够把输入信号分解成若干个简单信号的线性组合时，只要能得到该系统对每一个简单信号所产生的响应，就可以很方便的根据线性特性，通过线性组合而得到系统对的输出响应。即:()xt()xt若112233()()()()()...kkkxtaxtaxtaxtaxt==+++∑()()kkwherextyt→则112233()()()()()...kkkytaytaytaytayt==+++∑这一思想是信号与系统分析理论和方法建立的基础。在工程实际中，有一类系统并不满足线性系统的要求。但是这类系统的输出响应的增量与输入信号的增量之间满足线性特性。这类系统称为增量线性系统（incrementallylinearsystems)。7该系统既不满足齐次性，也不满足可加性，但当考查输入的增量与输出的增量之间的关系时，有()()2ytxt=+111()()()2xtytxt→=+222()()()2xtytxt→=+例如：121212()()()()()()xtxtytytxtxt−→−=−可见输入的增量与输出的增量之间是满足线性关系的，它是一个增量线性系统。显然有任何增量线性系统都可以等效为一个线性