凹凸函数之切线放缩

第1页共3页凹凸函数之切线放缩-----江西省于都中学李先源最近在学选修2-2，很多不等式的证明都涉及放缩法、构造法、拆分、引入增量，记得前不久看到泰勒展开，谈到超越函数（不等式）可以近似成多项式函数（不等式），其中就有一个特例，将超越函数利用导数的几何意义（切线）进行放缩，即变成bkxxg)(，或bkxxg)(（等号成立的条件恰好是切点时满足）。这里特例举几个题目来谈谈它的应用吧。例1、23,0,31xfxxx，已知数列na满足03,nanN，且满足122010670aaa，则122010()()()fafafa()A.最大值6030B.最大值6027C有最小值6027.D.有最小值6030解析：A．1()33f，当12201013aaa时，122010()()()fafafa=6030对于函数23()(03)1xfxxx,19()316kf,在13x处的切线方程为即3(11)10yx，则22331(11)(3)()01103xfxxxxx成立，所以当03,nanN时，有3(113)10nnfaa122010()()()fafafa12201031120103()603010aaa例2、已知函数2901xfxaax()()．（1）求fx()在122[,]上的最大值；（2）若直线2yxa为曲线yfx()的切线，求实数a的值；（3）当2a时，设1214122xxx,…,,,，且121414xxx…+++，若不等式1214fxfx+fx…()+()+()恒成立，求实数的最小值．解析：（1）2222229[1(1)2]9(1)()(1)(1)axxaxaxfxaxax，令()0fx，解得axa（负值舍去），由122aa，解得144a．（ⅰ）当104a时，由1[,2]2x，得()0fx，()fx在1[,2]2上的最大值为18(2)41fa．（ⅱ）当4a时，由1[,2]2x，得()0fx，()fx在1[,2]2上的最大值为118()24fa．（ⅲ）当144a时，在12axa时，()0fx，在2axa时，()0fx，()fx在1[,2]2上的最大值为9=2aafaa（）．第2页共3页（2）设切点为(,())tft，则()1,()2.ftftta由()1ft，有2229[1]1(1)atat，化简得2427100atat，即22at或25at，…①由()2ftta，有2921tatat，…②由①、②解得2a或3544a．（3）当2a时，29()12xfxx，由（2）的结论直线4yx为曲线()yfx的切线，(2)2f，点(2,(2))f在直线4yx上，根据图像分析，曲线()yfx在线4yx下方．下面给出证明：当1[,2]2x时，()4fxx．3222928104()(4)41212xxxxfxxxxx2221(2)12xxx（），当1[,2]2x时，()(4)0fxx，即()4fxx．12141214()()()414()fxfxfxxxx，121414xxx，1214()()()561442fxfxfx．要使不等式1214()()()fxfxfx恒成立，必须42．又当12141xxx时，满足条件121414xxx，且1214()()()42fxfxfx，因此，的最小值为42．例3、若)3,2,1(,0ixi，且311iix，则2111x+2211x+2311x≤2710证明：设g(x)=211x,则g´(x)=222(1)xx，g´´(x)=2232(31)(1)xx，由g´´(x)＜0得-33＜x＜33，g´´(x)＞0得x＞33或x＜-33，∵g(x)在R上连续，故g(x)=211x在［-33，33］上是上凸的，在区间(-∞，-33)，(33，+∞)上是下凸的。由311iix，则平衡值x0=13，由导数知识易求得g(x)=211x在x=13处的切线为y=2750（2-x）,因x0=13∈［-33，33］，g(x)=211x在［-33，33］上是上凸的，故g(x)=211x≤2750（2-x）恒成立。即2111x≤2750（2-x1），2211x≤2750（2-x2），2311x≤2750（2-x3），三式相加并结合311iix即得2111x+2211x+2311x≤2710。第3页共3页若将该题条件改为：若)3,2,1(,0ixi，且313iix时，解法同理。此时平衡值x0=1，而g(x)=211x在x=1处的切线为y=-12x+1,因x0=1∈(33，+∞)，g(x)=211x在(33，+∞)上是下凸的，故g(x)=211x≥-12x+1恒成立。即2111x≥-12x1+1，2211x≥-12x2+1，2311x≥-12x3+1三式相加并结合313iix即得2111x+2211x+2311x≥32。即得一个新的不等式：若xi33,i=1,2,3，且313iix，则2111x+2211x+2311x≥32。所以，在证明一类多元不等式时，我们经常用到的一个办法就是假设这些变元的和为1。例4、若实数cba,,，证明：23baccabcba。提示：不妨设1cba，则平衡点是31x。xxxf1)(在31x的切线419xy，有419)(xxf。5、若zyx,,非负，且1222zyx，证明：43111222zzyyxx提示：平衡点是33x。21)(xxxf在33x的切线12321xy，有12321)(xxf练习1：已知函数)2()20()2(11)(2xxfxxxf，⑴求函数)(xf在定义域上的单调区间。⑵若关于x的方程0)(axf恰有两个不等的实根，求实数a的范围；⑶已知实数]1,0[,21xx，121xx，若不等式)ln()()(21pxxxfxf在),(px上恒成立，求实数p的最小值。（可以利用切线求)()(21xfxf的最大值）练习2：若zyx,,非负，且1222zyx，证明：43111222zzyyxx提示：平衡点是33x。21)(xxxf在33x的切线12321xy，有12321)(xxf切线放缩法实质就是利用函数的图像性质解决一类多元的问题向一元函数求最值和类型的不等式转化。此时，可以选择先求二阶导看凹凸性，判断这个函数是否能使用切线法，或者能够被用得比较好。也可以直接选择求一阶导，把等号取道条件的切线值求出来，对应不等式常数项配最后的常数系数。其本质相当于求这个一元函数在等号取到条件时（也就是文中的平衡点）的切线值，进一步求对于这个一元函数相对应的某个局部不等式。