函数定义域值域求法(全十一种)

高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。例1求函数8|3x|15x2xy2的定义域。解：要使函数有意义，则必须满足②①08|3x|015x2x2由①解得3x或5x。③由②解得5x或11x④③和④求交集得3x且11x或x5。故所求函数的定义域为}5x|x{}11x3x|x{且。例2求函数2x161xsiny的定义域。解：要使函数有意义，则必须满足②①0x160xsin2由①解得Zkk2xk2，③由②解得4x4④由③和④求公共部分，得x0x4或故函数的定义域为]0(]4(，，评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。（1）已知)x(f的定义域，求)]x(g[f的定义域。（2）其解法是：已知)x(f的定义域是［a，b］求)]x(g[f的定义域是解b)x(ga，即为所求的定义域。例3已知)x(f的定义域为［－2，2］，求)1x(f2的定义域。解：令21x22，得3x12，即3x02，因此3|x|0，从而3x3，故函数的定义域是}3x3|x{。（2）已知)]x(g[f的定义域，求f(x)的定义域。其解法是：已知)]x(g[f的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由bxa，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。例4已知)1x2(f的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。解：因为51x234x222x1，，。即函数f(x)的定义域是}5x3|x{。三、逆向型即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。例5已知函数8mmx6mxy2的定义域为R求实数m的取值范围。分析：函数的定义域为R，表明0m8mx6mx2，使一切x∈R都成立，由2x项的系数是m，所以应分m=0或0m进行讨论。解：当m=0时，函数的定义域为R；当0m时，08mmx6mx2是二次不等式，其对一切实数x都成立的充要条件是1m00)8m(m4)m6(0m2综上可知1m0。评注：不少学生容易忽略m=0的情况，希望通过此例解决问题。例6已知函数3kx4kx7kx)x(f2的定义域是R，求实数k的取值范围。解：要使函数有意义，则必须3kx4kx2≠0恒成立，因为)x(f的定义域为R，即03kx4kx2无实数①当k≠0时，0k34k162恒成立，解得43k0；②当k=0时，方程左边=3≠0恒成立。综上k的取值范围是43k0。四、实际问题型这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要加倍注意，并形成意识。例7将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函数的定义域。解：设矩形一边为x，则另一边长为)x2a(21于是可得矩形面积。2xax21)x2a(21xyax21x2。由问题的实际意义，知函数的定义域应满足0x2a0x0)x2a(210x2ax0。故所求函数的解析式为ax21xy2，定义域为（0，2a）。例8用长为L的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架，如图，若矩形底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并求定义域。解：由题意知，此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积，如图。因为CD=AB=2x，所以xCD，所以2xx2L2CDABLAD，故2x2xx2Lx2y2Lxx)22(2根据实际问题的意义知2Lx002xx2L0x2故函数的解析式为Lxx)22(y2，定义域（0，2L）。五、参数型对于含参数的函数，求定义域时，必须对分母分类讨论。例9已知)x(f的定义域为［0，1］，求函数)ax(f)ax(f)x(F的定义域。解：因为)x(f的定义域为［0，1］，即1x0。故函数)x(F的定义域为下列不等式组的解集：1ax01ax0，即a1xaa1xa即两个区间［－a，1－a］与［a，1+a］的交集，比较两个区间左、右端点，知（1）当0a21时，F（x）的定义域为}a1xa|x{；（2）当21a0时，F（x）的定义域为}a1xa|x{；（3）当21a或21a时，上述两区间的交集为空集，此时F（x）不能构成函数。六、隐含型有些问题从表面上看并不求定义域，但是不注意定义域，往往导致错解，事实上定义域隐含在问题中，例如函数的单调区间是其定义域的子集。因此，求函数的单调区间，必须先求定义域。例10求函数)3x2x(logy22的单调区间。解：由03x2x2，即03x2x2，解得3x1。即函数y的定义域为（－1，3）。函数)3x2x(logy22是由函数3x2xttlogy22，复合而成的。4)1x(3x2xt22，对称轴x=1，由二次函数的单调性，可知t在区间]1(，上是增函数；在区间)1[，上是减函数，而tlogy2在其定义域上单调增；3)[1)[1)31(]11(]1()31(，，，，，，，，所以函数)3x2x(logy22在区间]11(，上是增函数，在区间)31[，上是减函数。函数值域求法十一种1.直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例1.求函数x1y的值域。解：∵0x∴0x1显然函数的值域是：),0()0,(例2.求函数x3y的值域。解：∵0x3x3,0x故函数的值域是：]3,[2.配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例3.求函数]2,1[x,5x2xy2的值域。解：将函数配方得：4)1x(y2∵]2,1[x由二次函数的性质可知：当x=1时，4ymin，当1x时，8ymax故函数的值域是：[4，8]3.判别式法例4.求函数22x1xx1y的值域。解：原函数化为关于x的一元二次方程0x)1y(x)1y(2（1）当1y时，Rx0)1y)(1y(4)1(2解得：23y21（2）当y=1时，0x，而23,211故函数的值域为23,21例5.求函数)x2(xxy的值域。解：两边平方整理得：0yx)1y(2x222（1）∵Rx∴0y8)1y(42解得：21y21但此时的函数的定义域由0)x2(x，得2x0由0，仅保证关于x的方程：0yx)1y(2x222在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由0求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为23,21。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。∵2x00)x2(xxy21y,0ymin代入方程（1）解得：]2,0[22222x41即当22222x41时，原函数的值域为：]21,0[注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。4.反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例6.求函数6x54x3值域。解：由原函数式可得：3y5y64x则其反函数为：3x5y64y，其定义域为：53x故所求函数的值域为：53,5.函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。例7.求函数1e1eyxx的值域。解：由原函数式可得：1y1yex∵0ex∴01y1y解得：1y1故所求函数的值域为)1,1(例8.求函数3xsinxcosy的值域。解：由原函数式可得：y3xcosxsiny，可化为：y3)x(xsin1y2即1yy3)x(xsin2∵Rx∴]1,1[)x(xsin即11yy312解得：42y42故函数的值域为42,426.函数单调性法例9.求函数)10x2(1xlog2y35x的值域。解：令1xlogy,2y325x1则21y,y在[2，10]上都是增函数所以21yyy在[2，10]上是增函数当x=2时，8112log2y33min当x=10时，339log2y35max故所求函数的值域为：33,81例10.求函数1x1xy的值域。解：原函数可化为：1x1x2y令1xy,1xy21，显然21y,y在],1[上为无上界的增函数所以1yy，2y在],1[上也为无上界的增函数所以当x=1时，21yyy有最小值2，原函数有最大值222显然0y，故原函数的值域为]2,0(7.换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例11.求函数1xxy的值域。解：令t1x，)0t(则1tx2∵43)21t(1tty22又0t，由二次函数的性质可知当0t时，1ymin当0t时，y故函数的值域为),1[例12.求函数2)1x(12xy的值域。解：因0)1x(12即1)1x(2故可令],0[,cos1x∴1cossincos11cosy21)4sin(2∵4540,0211)4sin(201)4sin(22故所求函数的值域为]21,0[例13.求函数1x2xxxy243的值域。解：原函数可变形为：222x1x1x1x221y可令tgx，则有2222cosx1x1,2sinx1x24sin412cos2sin21y当82k时，41ymax当82k时，41ymin而此时tan有意义。故所求函数的值域为41,41例14.求函数)1x)(cos1x(siny，2,12x的值域。解：)1x)(cos1x(siny1xcosxsinxcosxsin令txcosxsin，则)1t(21xcosxsin222)1t(211t)1t(21y由)4/xsin(2xcosxsint且2,12x可得：2t22∴当2t时，223ymax，当22t时，2243y故所求函数的值域为223,2243。例15.求函数2x54xy的值域。解：由0x52，可得5|x|故可令],0[,cos5x4)4sin(10sin54cos5y∵04544当4/时，104ymax当时，54ymin故所求函数的值域为：]104,54[8.数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会