函数的单调性知识点总结与经典题型归纳

函数的单调性知识梳理1.单调性概念一般地，设函数()fx的定义域为I：（1）如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值12,xx，当12xx时，都有12()()fxfx，那么就说函数()fx在区间D上是增函数；（2）如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值12,xx，当12xx时，都有12()()fxfx，那么就说函数()fx在区间D上是减函数.2.单调性的判定方法（1）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。（2）定义法步骤；①取值：设12,xx是给定区间内的两个任意值，且12xx(或12xx)；②作差：作差12()()fxfx，并将此差式变形（注意变形到能判断整个差式符号为止）；③定号：判断12()()fxfx的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论；④下结论：根据定义得出其单调性.（3）复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时则复合函数为减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”）3.单调区间的定义如果函数()yfx，在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数在这个区间上具有单调性，区间D叫做()yfx的单调区间．例题精讲【例1】下图为某地区24小时内的气温变化图．(1)从左向右看，图形是如何变化的？(2)在哪些区间上升?哪些区间下降？解：（1）从左向右看，图形先下降，后上升，再下降；（2）在区间[0,4]和[14,24]下降，在区间[4,14]下降。【例2】画出下列函数的图象，观察其变化规律：（1）f(x)=x;①从左至右图象上升还是下降?②在区间(-∞，+∞)上，随着x的增大，f(x)的值随着怎么变化？（2）f(x)=x2．①在区间(-∞，0)上，随着x的增大，f(x)的值随着怎么变化？②在区间[0，+∞)上，随着x的增大，f(x)的值随着怎么变化？解：（1）①从左至右图象是上升的；②在区间(-∞，+∞)上，随着x的增大，f(x)的值随着增大．（2）①在区间(-∞，0)上，随着x的增大，f(x)的值随着减小；②在区间[0，+∞)上，随着x的增大，f(x)的值随着增大．【例3】函数()yfx在定义域的某区间D上存在12,xx，满足12xx且12()()fxfx，那么函数()yfx在该区间上一定是增函数吗？解：不一定，例如下图：【例4】下图是定义在闭区间[5,5]上的函数()yfx的图象，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数．解：函数()yfx的单调区间有[5,2),[2,1),[1,3),[3,5)；其中在区间[5,2),[1,3)上是减函数，在区间[2,1),[3,5)上是增函数.【例5】证明函数()32fxx在R上是增函数.证明：设12,xx是R上的任意两个实数，且12xx（取值）则1212()()(32)(32)fxfxxx（作差）123()xx由12xx，得120xx于是12()()0fxfx（定号）所以12()()fxfx所以，函数()32fxx在R上是增函数。（下结论）课堂练习仔细读题，一定要选择最佳答案哟！1.若函数()fx在区间(,)ab上是增函数，在区间(,)cd上也是增函数，则函数()fx在区间(,)(,)abcd上()A.必是增函数B.必是减函数C.先增后减D.无法确定单调性2.在区间(,0)上为增函数的是（）A．1yB．21xxyC．122xxyD．21xy3．函数,在上是（）A.增函数B.减函数C.先增后减D.无单调性4．如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论不正确的是()A.fx1－fx2x1－x20B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]0C．f(a)f(x1)f(x2)f(b)D.x2－x1fx2－fx105．函数11yx的减区间是.6．证明：函数1()fxx在(0,)上是减函数。7．已知f(x)在(0，＋∞)上是减函数，判断f(a2－a＋1)与f34的大小关系．8．若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,8]上是单调函数，求k的取值范围.9．已知函数()1axfxx,若.(l)求的值.(2)利用单调性定义证明函数在区间的单调性.