分式化简求值几大常用技巧

1分式化简求值几大常用技巧在给定的条件下求分式的值，大多数条件下难以直接代入求值，它必须根据题目本身的特点，将已知条件或所求分式适当变形，然后巧妙求解.常用的变形方法大致有以下几种：1、应用分式的基本性质例1如果12xx，则2421xxx的值是多少?解：由0x，将待求分式的分子、分母同时除以2x，得原式=.22221111112131()1xxxx.2、倒数法例2如果12xx，则2421xxx的值是多少?解：将待求分式取倒数，得42222221111()1213xxxxxxx∴原式=13.3、平方法例3已知12xx，则221xx的值是多少？解：两边同时平方，得22221124,422.xxxx4、设参数法例4已知0235abc，求分式2222323abbcacabc的值.解：设235abck，则2,3,5akbkck.∴原式=222222323532566.(2)2(3)3(5)5353kkkkkkkkkkk例5已知,abcbca求abcabc的值.解：设abckbca，则2,,.abkbckcak∴3cakbkkckkkck，∴31,1kk∴abc∴原式=1.abcabc5、整体代换法例6已知113,xy求2322xxyyxxyy的值.解：将已知变形，得3,yxxy即3xyxy∴原式=2()32(3)333.()23255xyxyxyxyxyxyxyxyxyxy例：例5.已知ab0，且满足aabbab2222，求abab3313的值。解：因为aabbab2222所以()()abab220所以()()abab210所以ab2或ab1由ab0故有ab1所以abababaabbab33221313()()113312222()aabbabaabbab()()ababababababab22331133113311评注：本题应先对已知条件aabbab2222进行变换和因式分解，并由ab0确定出ab1，然后对所给代数式利用立方和公式化简，从而问题迎刃而解。6、消元代换法例7已知1,abc则111abcababcbacc.解：∵1,abc∴1,cab3∴原式=111111abababababbaabab1111aababaabaaab11.1abaaba7、拆项法例8若0,abc求111111()()()3abcbcacab的值.解：原式=111111()1()1()1abcbcacab111111111()()()abcabcabcabc111()()abcabc0abc∵∴原式=0.8、配方法例9若13,13,abbc求2221abcabacbc的值.解：由13,13,abbc得2ac.∴2222abcabacb2221()()()2abbcac11202∴原式=16.4化简求值切入点介绍解题的切入点是解题的重要方向，是解题的有效钥匙。分式求值有哪些切入点呢？下面本文结合例题归纳六个求分式的值的常见切入点，供同学们借鉴：切入点一：“运算符号”点拨：对于两个分母互为相反数的分式相加减，只须把其中一个分式的分母的运算符号提出来，即可化成同分母分式进行相加减。例1：求ababab24222解：原式=baabab24222=baab2422=baba2422=)2()2)(2(bababa=)2(ba=ba2评注：我们在求解异分母分式相加减时，先要仔细观察这两个分式的分母是否互为相反数。若互为相反数，则可以通过改变运算符号来化成同分母分式，从而避免盲目通分带来的繁琐。切入点二：“常用数学运算公式”点拨：在求分式的值时，有些数学运算公式直接应用难以奏效，这时，需要对这些数学公式进行变形应用。例2：若0132aa，则331aa的值为______解：依题意知，0a，由0132aa得aa312，对此方程两边同时除以a得31aa∴18)33(3]3)1)[(1()11)(1(1222233aaaaaaaaaa评注：在求分式的值时，要高度重视以下这些经过变形后的公式的应用：①))((22bababa②abbaabbaba2)(2)(2222③)(3)(]3))[(())((322233baabbaabbabababababa④)(3)(]3))[(())((322233baabbaabbabababababa⑤])()[(4122babaab5切入点三：“分式的分子或分母”点拨：对于分子或分母含有比较繁杂多项式的分式求值，往往需要对这些多项式进行分解因式变形处理，然后再代题设条件式进行求值。例3：已知5,3xyyx，求2222223xyyxyxyx的值。解：xyyxyxxyyxyxxyyxyxyx)2())(2(2232222∵5,3xyyx∴原式=5353评注：分解因式的方法是打开分式求值大门的有效钥匙，也是实现分式约分化简的重要工具。像本题先利用十字相乘法对分子分解因式，利用提公因式法对分母分解因式，然后约去相同的因式，再代题设条件式求值，从而化繁为简。切入点四：“原分式中的分子和分母的位置”点拨：对于那些分母比分子含有更繁杂代数式的分式，倘若直接求值，则难以求解。但是，我们可以先从其倒数形式入手，然后再对所求得的值取其倒数，则可以把问题简单化。例4：已知3112xxx，则1242xxx的值为______解：依题意知，0x，由3112xxx得,312xxx，即311xx从而得21xx∴3121)1(1112222224xxxxxxx故311242xxx评注：取倒数思想是处理那些分母比分子含有更繁杂代数式的分式求值问题的重要法宝。像本题利用取倒数思想巧变原分式中的分子和分母的位置，从而化难为易。切入点五：“题设条件式”点拨：当题设条件式难以直接代入求值时，不妨对其进行等价变换，也许可以找到解题钥匙。例5：已知323yx，则xyxyxyyx69732的值为______解：由323yx得xyxy323，则xyyx332∴4116473337)23(33269732xyxyxyxyxyxyxyxyxyyxxyxyxyyx评注：等价变换思想是沟通已知条件和未知结论的重要桥梁，是恒等变形的充分体现。像本题通过对6题设条件式作等价变换，找到重要解题条件“xyxy323”和“xyyx332”，然后作代换处理，从而快速求值。切入点六：“分式中的常数值”点拨：当题设条件式的值和所要求解的分式的常数相同时，应注意考虑是否可以作整体代入变形求解，以便更快找到解题的突破口。例6：设1abc，求111caccbbcbaaba的值解：∵1abc∴原式=11caccbbcbabcaaba=1111caccbbcbbcb=abccaccbbcb11=ababbcb1111=ababcaabcbbcb11=bbcbcbbcb111=111bbcbcb评注：整体代入变形是分式求值的重要策略。像本题紧扣“1abc”，多次作整体代入处理，先繁后简，逐项通分，最后顺利得到分式的值。综上可见，找准切入点，灵活变形可以巧妙求解分式的值。所以，当你遇到分式求值题找不到解题方向时，不妨找准切入点，对原分式变一变，也许分式求值思路现。