功能原理机械能守恒

第03-2讲功能原理机械能守恒§3-4动能定理§3-5保守力与非保守力势能§3-6功能原理机械能守恒定律§3-7完全弹性碰撞完全非弹性碰撞课本pp69—93；练习册第四单元本次课内容第三章动量守恒和机械能守恒力对质点所作的功为力在质点位移方向的分量与位移大小的乘积.（功是标量，过程量）090,d0WdcosdcosdWFrFs90180,d0WddWFr一功90dd0FrW1drFdriFdirB**i1A1F§3-4动能定理dcosdBBAAWFrFr合力的功=分力的功的代数和ddiiiiWFrFrWdddxyzWFxFyFzxyzcosFArBrrdro变力的功ddWFrddddrxiyjzkxyzFFiFjFk功的大小与参照系有关22dimMLT1J1NmW功的量纲和单位WPt平均功率瞬时功率0dlimdtWWPFttvcosPFv功率的单位（瓦特）31kW10W11W1Js例1一质量为m的小球竖直落入水中，刚接触水面时其速率为.设此球在水中所受的浮力与重力相等,水的阻力为,b为一常量.求阻力对球作的功与时间的函数关系.0vrFbv解如图建立坐标轴dddddxWFrbxbttvv即2dWbtv又由2-5节例5知0ebmtvv2200edbmttWbtv2201(e1)2bmtWmv0vxo二质点的动能定理22112221d11ddd22Wmsmmmtvvvvvvvvv动能（状态函数）22k122pEmmvtddFmtvttdddWFrFrFs动能定理k2k1WEE合外力对质点所作的功,等于质点动能的增量.功和动能都与参考系有关；动能定理仅适用于惯性系.注意例2一质量为1.0kg的小球系在长为1.0m细绳下端,绳的上端固定在天花板上.起初把绳子放在与竖直线成角处,然后放手使小球沿圆弧下落.试求绳与竖直线成角时小球的速率.3010TddddWFsFsPs解0(coscos)mglddcosPsmglsindmgl0sindWmglPdl0vTFds0(coscos)Wmgl由动能定理2201122Wmmvv得02(coscos)glv11.53ms1.0kgm1.0ml03010Pdl0vTFds3'mmFGrr3'ddBAmmWFrGrrr1）万有引力作功以为参考系，的位置矢量为.rm'm()rt(d)rttdrmO'mAB一万有引力、重力、弹性力作功的特点对的万有引力为'mmm由点移动到点时作功为FAB§3-5保守力与非保守力势能'mA()rt(d)rttdrmOB''()()BAmmmmWGGrr2'dBArrmmWGrr()rt(d)rttdr3'ddBAmmWFrGrrrdcosrrrdrd0Wmgzddddrxiyjzk()BAmgzmgzPmgkddBABzAzWPrmgzABAzBzmgoxyz2）重力作功d0WkxxFkxi22dd11()22BBAAxxxxBAWFxkxxkxkxAxBxFxo3）弹性力作功保守力:力所作的功与路径无关，仅决定于相互作用质点的始末相对位置.二保守力和非保守力2211()22BAWkxkx''()()BAmmmmWGGrr()BAWmgzmgz重力功弹力功引力功ddACBADBFrFrABCDABCD非保守力:力所作的功与路径有关.（例如摩擦力）物体沿闭合路径运动一周时,保守力对它所作的功等于零.d0lFrdddlACBBDAFrFrFrABCDddACBADBFrFr三势能势能与物体间相互作用及相对位置有关的能量.p2p1P()WEEE保守力的功弹性势能2p12Ekx引力势能p'mmEGr重力势能pEmgz2211()22BAWkxkx弹力功''()()BAmmmmWGGrr引力功()BAWmgzmgz重力功势能具有相对性，势能大小与势能零点的选取有关.pp(,,)EExyz势能是状态函数p00p(,,)(,,)dExyzExyzFrp00E令势能属于整个系统.说明势能计算pp0p()WEEEpEzOpEmgz四势能曲线弹性势能曲线p0,0xE重力势能曲线p0,0zE引力势能曲线p,0rExOpE2p12EkxxOpEp'mmEGr一质点系的动能定理质点系动能定理exinkk0WWEE1m2mimexiFiniF注意:内力可以改变质点系的动能内力功exinkk0kk0iiiiiiiiWWEEEE对质点系，有exinkk0iiiiWWEE对第个质点，有i§3-6功能原理机械能守恒定律外力功exinnckpk0p0()()WWEEEE机械能kpEEE质点系动能定理exinkk0WWEE非保守力的功inininincnciiincpp0pp0()iiiiWEEEEexinnc0WWEE二质点系的功能原理质点系的功能原理质点系机械能的增量等于外力和非保守内力作功之和.kpEEkk0pp0()EEEE当exinnc0WW0EE时，有exinnckpk0p0()()WWEEEE功能原理三机械能守恒定律机械能守恒定律只有保守内力作功的情况下，质点系的机械能保持不变.守恒定律的意义不究过程细节而能对系统的状态下结论，这是各个守恒定律的特点和优点.例如图的系统，物体A，B置于光滑的桌面上，物体A和C,B和D之间摩擦因数均不为零.首先用外力沿水平方向相向推压A和B，使弹簧受到挤压，后拆除外力，则A和B弹开过程中，对A、B、C、D组成的系统（A）动量守恒，机械能守恒.（B）动量不守恒，机械能守恒.（C）动量不守恒，机械能不守恒.（D）动量守恒，机械能不一定守恒.DBCADBCA例1一雪橇从高度为50m的山顶上点A沿冰道由静止下滑,山顶到山下的坡道长为500m.雪橇滑至山下点B后,又沿水平冰道继续滑行,滑行若干米后停止在C处.若摩擦因数为0.050.求此雪橇沿水平冰道滑行的路程.(点B附近可视为连续弯曲的滑道.忽略空气阻力.)PNFfFsinPcosPh's已知50m,0.050,'500m,hs求.s解以雪橇、冰道和地球为一系统，由功能原理得f21WEEfcos'(')Wmgsmgsmgss21EEmgh又(')mgssmgh可得f21WEE由功能原理'500mhss代入已知数据有50m,0.050,'500m,hsf(')WmgssNFfFsinPcosPh's例2有一轻弹簧,其一端系在铅直放置的圆环的顶点P,另一端系一质量为m的小球,小球穿过圆环并在圆环上运动(不计摩擦).开始小球静止于点A,弹簧处于自然状态,其长度为圆环半径R;当小球运动到圆环的底端点B时,小球对圆环没有压力.求弹簧的劲度系数.解以弹簧、小球和地球为一系统，AB只有保守内力做功系统机械能守恒BAEEPA30oBRp0E取图中点为重力势能零点B又2BkRmgmRv所以2mgkR即2211(2sin30)22BmkRmgRv系统机械能守恒BAEE,图中点为重力势能零点BPA30oBRp0E例3在一截面积变化的弯曲管中，稳定流动着不可压缩的密度为的流体.点a处的压强为p1、截面积为A1,在点b处的压强为p2截面积为A2.由于点a和点b之间存在压力差,流体将在管中移动.在点a和点b处的速率分别为和.求流体的压强和速率之间的关系.2v1vyxo1x11dxx2x22dxx2y1y2p1p1v2vab1A2A1122dddAxAxV12d()dpWppV111222dddpWpAxpAx则解取如图所示坐标,在时间内、处流体分别移动、.dtab1dx2dx又1212dd()()dgWmgyygyyVyxo1x11dxx2x22dxx2y1y2p1p1v2vab1A2A由动能定理得2212212111()d()ddd22ppVgyyVVVvv得221112221122pgypgyvv即212pgyv常量12d()dpWppV12d()dgWgyyVyxo1x11dxx2x22dxx2y1y2p1p1v2vab1A2A若将流管放在水平面上，即12yy212pgyv常量伯努利方程则有212pv常量yxo1x11dxx2x22dxx2y1y2p1p1v2vab1A2A1p1v2p2v若将流管放在水平面上，即12yy则有212pv常量2211221122ppvv即12pp12vv若则三种宇宙速度四宇宙速度牛顿的《自然哲学的数学原理》插图，抛体的运动轨迹取决于抛体的初速度设地球质量,抛体质量,地球半径.EmERmvh``````解取抛体和地球为一系统，系统的机械能E守恒.1）人造地球卫星第一宇宙速度第一宇宙速度，是在地面上发射人造地球卫星所需的最小速度.1v2E1E1()2mmEmGRv2EE1()2mmmGRhv解得EE1EE2GmGmRRhv22EE1EE11()()22mmmmEmGmGRRhvv2E2EE()mmmGRhRhv由牛顿第二定律和万有引力定律得vhvh``````E2EGmgRE1EE(2)RgRRhv地球表面附近ERh故1EgRv317.910m/sv计算得第一宇宙速度EE02()GmmERh0EEE1EE2GmGmRRhv2）人造行星第二宇宙速度2E2Ekp1()20mmEmGREEvvh设地球质量,抛体质量,地球半径.EmERm第二宇宙速度，是抛体脱离地球引力所需的最小发射速度.2vE取抛体和地球为一系统系统机械能守恒.,0;0rFv当若此时则E2EE22GmgRRv0E2E2E1()02mmEmGRvvh211.2km/sv计算得第二宇宙速度3）飞出太阳系第三宇宙速度第三宇宙速度，是抛体脱离太阳引力所需的最小发射速度.3vvh设地球质量,抛体质量,地球半径,EmERm太阳质量,抛体与太阳相距.SmSR取地球为参考系,由机械能守恒得22E3E11()22mmmGmRvv'取抛体和地球为一系统，抛体首先要脱离地球引力的束缚,其相对于地球的速率为.v'取太阳为参考系,抛体相对于太阳的速度为，3'v地球相对于太阳的速度3E''vvv则如与同向,有E'vv3E''vvv要脱离太阳引力，机械能至少为零2S3kpS1()02mmEmGEERv'12S3S2()GmRv'则由于与同向,则抛体与太阳的距离即为地球轨道半径设地球绕太阳轨道近似为一圆，3E'vvSR则2ESEE2SSmmmGRRv12SES()mGRv212-1E3E(2)16.4kmsmGRvv'计算得第三宇宙速度22E3E11()22mmmGmRvv'取地球为参照系vh3Ev'v'v12SS(21)()GmRv'计算得抛体的轨迹与能量的关系0E0E椭圆(包括圆)17.9km/sv0E0E抛物线211.2km/svvh