双曲线导学案及答案

2014级高三理科数学导学案平面解析几何编制：高春芳审阅：厉强第二讲双曲线（2课时）班级姓名【考试说明】1.了双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、）2.理解数形结合的思想.3.了解双曲线的简单应用.【知识聚焦】（必须清楚、必须牢记）1．双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的____________等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做_____________，两焦点间的距离叫做_______________.集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a0，c0.(1)当______________时，P点的轨迹是双曲线；(2)当_____________时，P点的轨迹是两条射线；(3)当_____________时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)图形性质范围对称性顶点渐近线离心率实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝____；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝_____；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2＝__________(ca0，cb0)3实轴和_________相等的双曲线叫做等轴双曲线.离心率e＝2是双曲线为等轴双曲线的充要条件，且等轴双曲线两条渐近线互相垂直.一般可设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0).4.巧设双曲线方程(1)与双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)有共同渐近线的方程可表示为x2a2－y2b2＝t(t≠0)．(2)过已知两个点的双曲线方程可设为x2m＋y2n＝1(mn0)．【链接教材】（打好基础，奠基成长）1．(教材改编)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A.5B．5C.2D．22．(2015·安徽)下列双曲线中，渐近线方程为y＝±2x的是()A．x2－y24＝1B.x24－y2＝1C．x2－y22＝1D.x22－y2＝12014级高三理科数学导学案平面解析几何编制：高春芳审阅：厉强3．(2014·广东)若实数k满足0k9，则曲线x225－y29－k＝1与曲线x225－k－y29＝1的()A．焦距相等B．实半轴长相等C．虚半轴长相等D．离心率相等4．已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为________．5．(教材改编)经过点A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_______.6.设双曲线x2a2－y29＝1(a＞0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为()A.4B.3C.2D.17(2013·湖北)已知0θπ4，则双曲线C1：x2cos2θ－y2sin2θ＝1与C2：y2sin2θ－x2sin2θtan2θ＝1的()A.实轴长相等B.虚轴长相等C.焦距相等D.离心率相等8.已知曲线方程x2λ＋2－y2λ＋1＝1，若方程表示双曲线，则λ的取值范围是________________.【课堂考点探究】探究点一双曲线定义的应用例11.已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________________．2.设P是双曲线2211620yx上的一点，F1F2分别是双曲线的左右焦点，若为129PFPF则()A.1B.17C.1或17D.以上答案均不对[总结反思]探究点二双曲线的标准方程的求法例21.根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为54；(2)经过两点P(－3,27)和Q(－62，－7)．2.(2014·天津)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为()A.x25－y220＝1B.x220－y25＝1C.3x225－3y2100＝1D.3x2100－3y225＝1[总结反思]变式题(1)(2015·课标全国Ⅱ)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y＝±12x，则该双曲线的标准方程为__________________．(2)设椭圆C1的离心率为513，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为________．探究点三双曲线的几何性质例3(1)过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点A，与另一条渐近线交于点B，若FB→＝2FA→，则此双曲线的离心率为()A.2B.3C．2D.52014级高三理科数学导学案平面解析几何编制：高春芳审阅：厉强(2)(2015·山东)平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)交于点O，A，B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________．[总结反思]变式题(1)(2015·重庆)设双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点是F，左，右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为()A．±12B．±22C．±1D．±2(2)(2015·湖北)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则()A．对任意的a，b，e1e2B．当ab时，e1e2；当ab时，e1e2C．对任意的a，b，e1e2D．当ab时，e1e2；当ab时，e1e2探究点四直线与双曲线的综合问题例4(1)(2015·四川)过双曲线x2－y23＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|等于()A.433B．23C．6D．43(2)若双曲线E：x2a2－y2＝1(a0)的离心率等于2，直线y＝kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点．①求k的取值范围；②若|AB|＝63，点C是双曲线上一点，且OC→＝m(OA→＋OB→)，求k，m的值．[总结反思]变式题已知双曲线C的两个焦点分别为F1(－2,0)，F2(2，0)，双曲线C上一点P到F1，F2的距离差的绝对值等于2.(1)求双曲线C的标准方程；(2)经过点M(2,1)作直线l交双曲线C的右支于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程；(3)已知定点G(1,2)，点D是双曲线C右支上的动点，求|DF1|＋|DG|的最小值．2014级高三理科数学导学案平面解析几何编制：高春芳审阅：厉强【课后作业】1．(2015·广东)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1的离心率e＝54，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的方程为()A.x24－y23＝1B.x29－y216＝1C.x216－y29＝1D.x23－y24＝12．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为()A.2B.3C．2D．33．(2014·江西)过双曲线C：x2a2－y2b2＝1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为()A.x24－y212＝1B.x27－y29＝1C.x28－y28＝1D.x212－y24＝14．(2015·课标全国Ⅰ)已知M(x0，y0)是双曲线C：x22－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若MF1→·MF2→0，则y0的取值范围是()A.－33，33B.－36，36C.－223，223D.－233，2335．已知椭圆x2a21＋y2b21＝1(a1b10)的长轴长、短轴长、焦距成等比数列，离心率为e1；双曲线x2a22－y2b22＝1(a20，b20)的实轴长、虚轴长、焦距也成等比数列，离心率为e2.则e1e2等于()A.22B．1C.3D．26．已知F为双曲线C：x29－y216＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5，0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．7．已知双曲线x2m－y23m＝1的一个焦点是(0,2)，椭圆y2n－x2m＝1的焦距等于4，则n＝________.8．若点O和点F(－2,0)分别为双曲线x2a2－y2＝1(a0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则OP→·FP→的取值范围为______________．9．(2014·浙江)设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m,0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________．10．已知椭圆C1的方程为x24＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．(1)求双曲线C2的方程；(2)若直线l：y＝kx＋2与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且OA→·OB→2(其中O为原点)，求k的取值范围．双曲线参考答案【基础回眸】1．答案A解析由题意得b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.∴e2＝c2a2＝5，∴e＝5.2．答案A解析由双曲线渐近线方程的求法知：双曲线x2－y24＝1的渐近线方程为y＝±2x，故选A.3．答案A解析因为0k9，所以两条曲线都表示双曲线．双曲线x225－y29－k＝1的实半轴长为5，虚半轴长为9－k，焦距为225＋9－k＝234－k，离心率为34－k5.双曲线x225－k－y29＝1的实半轴长为25－k，虚半轴长为3，焦距为225－k＋9＝234－k，离心率为34－k25－k，故两曲线只有焦距相等．故选A.4．3解析双曲线C的标准方程为x23m－y23＝1(m0)，其渐近线方程为y＝±mmx，即my＝±x，不妨选取右焦点F(3m＋3，0)到其中一条渐近线x－my＝0的距离求解，得d＝3m＋3m＋1＝3.5．x28－y28＝1解析设双曲线的方程为x2a2－y2a2＝±1(a0)，把点A(3，－1)代入，得a2＝8，故所求方程为x28－y28＝1.6.C解：由双曲线方程可知渐近线方程为y＝±3ax，又a＞0，可知a＝2.故选C.7.D解：易知双曲线C1实轴长为2cosθ，虚轴长为2sinθ，焦距为2，离心率为1cosθ；双曲线C2实轴长为2sinθ，虚轴长为2sinθtanθ，焦距为2tanθ，离心率为1cosθ，又0θπ4，所以sinθ≠cosθ，tanθ≠1，综上知两双曲线只有离心率相等.8.(－∞，－2)∪(－1，＋∞).解：∵方程x2λ＋2－y2λ＋1＝1表示双曲线，∴(λ＋2)(λ＋1)＞0，解得λ＜－2或λ＞－1.【典例精讲】例11.x2－y28＝1(x≤－1)2.B1.解析如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|，因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.故点M的轨迹方程为x2－y28＝1(x≤－1)．例2解(1)设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1或y2a2－x2b2＝1(a0，b0)．由题意知，2b＝12，e＝ca＝54.∴b＝6，c＝10，a＝8.∴双曲