反比例函数一对一辅导讲义

教学目标1、理解反比例函数的概念。2、反比例函数的图像及相关性质。重点、难点反比例函数的图像和性质：掌握反比例函数的定义、图像和性质的应用。考点及考试要求考点1：反比例函数的有关概念考点2：反比例函数与一次函数的联系考点3：反比例函数在生活中的运用教学内容第一课时反比例函数知识考点（1）考点一：反比例函数的概念一般地，函数）为常数，0(kkxky叫做反比例函数。k为比例系数，其中自变量x的取值范围是x≠0的一切实数。因为k≠0,x≠0，所以y=xk的函数值y也不等于0，因此可以知道y的取值范围是y≠0的一切实数。(1)反比例函数y=xk(k≠0)还可写成y=kx-1或xy=k(k≠0)的形式;(2)反比例函数y=xk(k≠0)的右边是自变量的分式,而且这个分式的分母是自变量的一次单项式,分子是一个非零实数,如y=x31,y=-x315等都是反比例函数,但y=12x就不是反比例函数.（3）反比例函数中的xk是一个分式，自变量x≠0；函数与x轴、y轴无交点。（4）用待定系数法求反比例函数的解析式反比例函数y=xk中只有一个待定系数k，所以只要知道一对x、y的值或其图象上的一个点的坐标，我们就可以用待定系数法求反比例函数的解析式。其中k的值就是x与y的乘积。典型例题：例1．若函数1322)(mmxmmy是反比例函数，则m的值是______。例2．在下列函数中，y是x的反比例函数是（）A12xyB22xyCxy51Dxy2例3．反比例函数过点（6，-2），则它的解析式为。例4．已知：y=y1+y2，其中y1与x成反比例，y2与x-2成正比例，但当x=1时，y=-1，当x=3时，y=3，求函数y的解析式。巩固练习：1、若函数y=0.5xm-3+2n-1是反比例函数，则y=x2n+2m是_______函数。2．已知)4,2(是反比例函数图象上一点，下列各点也在该图象上的是（）A．（-1，3）B．（2，4）C．)4,22(D．)2,24(3.已知y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且x=1与x=2时，y的值都为6，求x=-4时，y的值。考点二:反比例函数的图象与性质1．反比例函数y＝xk（k是常数且k≠0）的图象是关于原点对称的双曲线，当k0时，它的两个分支分别在第一，三象限；当k0时，它的两个分支分别在第二、四象限。这两个分支关于原点成中心对称。反比例函数图象既是中心对称图形，又是轴对称图形，它的对称中心是原点，对称轴是两坐标夹角平分线所在的直线。2．反比例函数图象的画法:画反比例函数图象的方法是描点法，由于反比例函数的图象是两条关于原点成中心对称的曲线（即双曲线），故可先画出一个分支，再对称地画出另一个分支，步骤是：列表，描点，连线。3．画反比例函数的图象时要注意的问题：①由于反比例函数y＝xk中，x≠0，故在画图象时既不能把两个分支连接起来，其两个分支又不能与两坐标轴有公共点（即不能相交）。②由于自变量x的取值不能为0，所以一般我们从1或－1开始对称取点。③由于在反比例函数中，x和y的值都不能为0，所以，画出的双曲线的两个分支只要分别体现出无限地接近坐标轴，但永远也不能和坐标轴相交的这种变化趋势。反比例函数的性质：1）当k＞0时，图象分布在第一，三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，即在每一个分支上，y随x的增大而减小；2）当k＜0时，图象分布在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，即在每一个分支上，y随x的增大而增大。注意：“在每一个分支上”这个条件。描述函数值的增减情况时，必须注意是“在每一个象限内……”，切忌笼统地说“当k＜0时，yABCD随x的增大而增大”，因为反比例函数图象的两个分支分别在两个不同的象限内，且中间断开。在研究反比例函数的增减性时，只能在每个分支所在象限内讨论，尽管这两个分支的增减性一样，但笼统地合在一起说就会出现矛盾，导致错误。由以上可知，反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由比例系数k的符号决定的。表达式y=kx(k≠0)图象k0k0性质1．图象在第一、三象限；2．每个象限内，函数y的值随x的增大而减小．1．图象在第二、四象限；2．在每个象限内，函数y值随x的增大而增大．典型例题：例1．函数y=（a-1）xa是反比例函数，则此函数图象位于（）A．第一、三象限；B．第二、四象限；C．第一、四象限；D．第二、三象限例2.函数xmy与)0(mmmxy在同一平面直角坐标系中的图像可能是（）。例3．在同一平面直角坐标系中,函数y=k(x－1)与y=)0(kxk的大致图象是()。ABCD例4.若),21(),,41(),,21(321yPyNyM三点都在函数xky（k0）的图象上，则321,,yyy的大小关系是（）A．132yyyB．312yyyC．213yyyD．123yyyyx0y0x例5．如图,一次函数baxy的图象与反比例函数xky的图象交于M、N两点。（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的x的取值范围。巩固练习：1．老师给出一个函数，甲、乙、丙各正确指出了这个函数的一个性质：甲：函数的图象经过第一象限；乙：函数的图象经过第三象限；丙：在每个象限内，y随x的增大而减小．请你根据他们的叙述构造满足上述性质的一个函数：。2．已知一个矩形的面积为24cm2，其长为ycm，宽为xcm，则y与x之间的函数关系的图象大致是（）ABCD3．函数y=－ax+a与y=xa（a≠0）在同一个坐标系中的图像可能是（）。（2004青岛）（4．若),21(),,41(),,21(321yPyNyM三点都在函数xky（k0）的图象上，则321,,yyy的大小关系是（）A．132yyyB．312yyyC．213yyyD．123yyy5．如图，直线y＝kx(k＞0)与双曲线xy4交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2－7x2y1＝_________。xyoxyoxyoxyo5题图6题图7题图6．如图是一次函数y1=kx+b和反比例函数y2=mx的图象，观察图象写出y1＞y2时，x的取值范围．7．如图，正方形OABC，ADEF的顶点A，D，C在坐标轴上，点F在AB上，点B，E在函数10yxx的图象上，则点E的坐标是()。A、5151,22B、3535,22C、5151,22D、3535,22第二课时反比例函数知识考点（2）知识点四：反比例函数y=kx中k的意义与变化规律㈠、反比例函数y=xk（k≠0）中比例系数k的意义（1）过双曲线上任意一点作轴的垂线，则垂足、已知点及原点这三点所构成的三角形面积为S＝k21。（2）反比例函数y=kx(k≠0)中比例系数k的几何意义,即过双曲线y=kx(k≠0)上任意一点引x轴、y轴垂线,所得矩形面积为│k│.（3）反比例函数y=xk（k≠0）中比例系数k的几何意义：若由双曲线上任意一点引两轴的垂线，两垂线及两轴所构成的四边形的面积为k，则此双曲线的解析式为y＝±xk，当该点在第一、三象限内时，反比例函数的解析式为y＝xk；当该点在第二、四象限内时，反比例函数的解析式为y＝－xk；当不能确定该点所在的象限时，反比例函数的解析式为y＝±xk。㈡、反比例函数xky（k≠0）比例系数k的变化规律：性质1：设)0(),0(),0(332211kxkykxkykxky的图象如图1所示，则有k1＜k2＜k3，即当k＞0时，反比例函数的图象越靠近y轴，k的值越小，越远离y轴，k的值越大。性质2：设)0(),0(),0(332211kxkykxkykxky的图象如图2所示，则有k1＞k2＞k3，但|k1|＜|k2|＜|k3|即当k＜0时，反比例函数的图象越靠近y轴，k的值越大，越远离y轴，k的值越小。性质3：设)0(),0(2211kxkykxky的图象如图3所示，则有k1＞k2即反比例函数图象在一、三象限内时的k值恒大于图象在二、四象限内时的k值。典型例题：例1：如图，面积为3的矩形OABC的一个顶点B在反比例函数xky的图象上，另三点在坐标轴上，则k＝.例2．如图所示，A（1x，1y）、B（2x，2y）、C（3x，3y）是函数xy1的图象在第一象限分支上的三个点，且1x＜2x＜3x，过A、B、C三点分别作坐标轴的垂线，得矩形ADOH、BEON、CFOP，它们的面积分别为S1、S2、S3，则下列结论中正确的是（）．A．S1＜S2＜S3B．S3＜S2＜S1C．S2＜S3＜S1D．S1＝S2＝S3例3.如图三个反比例函数xkyxkyxky321,,在x轴上方的图象,由此观察得到321,,kkk的大小关系为（）．A．1k2k3kB．2k3k1kC．3k2k1kD．3k1k2k例4．如图，已知反比例函数的图象与一次函数24yx的图象相交于P、Q两点，并且P点的纵坐标是6。（1）求这个反比例函数的解析式；（2）求POQ的面积。第三课时反比例函数巩固练习练习：1．如图，P1、P2、P3是双曲线上的三点．过这三点分别作y轴的垂线，得到三个三角形P1A1O、P2A2O、P3A3O，设它们的面积分别是S1、S2、S3，则()．A．S1S2S3B．S2S1S3C．S1S3S2D．S1=S2=S32．如图，点A是4yx图象上的一点，AB⊥y轴于点B，则△AOB的面积是（）(2005·吉林)A．1B．2C．3D．43.已知，如图所示的P是反比例y=kx函数图象上的一点，若图中阴影部分的矩形面积为2，则这个反比例函数的关系式为（）A．y=2xB．y=－2xC．y=12xD．y=－12x第1题图第2题图第3题图4．如图，A为反比例函数xky图象上一点，ABx轴与点B，若3AOBS，则k为（）A、6B、3C、23D、无法确定5.反比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象经过点(a,-a),那么k_____0(填“”或“”).6.若反比例函数y=kx经过点(-1,2),则一次函数y=-kx+2的图象一定不经过第_____象限.7.已知反比例函数xky图象与直线xy2和1xy的图象过同一点，则当x＞0时，这个反比例函数值y随x的增大而（填增大或减小）；8.已知函数xmy，当21x时，6y，则函数的解析式是；9.在函数xky22（k为常数）的图象上有三个点（-2，1y），(-1，2y)，（21，3y），函数值1y，2y，3y的大小为；10.已知121,yyyy与x成反比例，2y与)2(x成正比例，并且当x=3时，y=5，当x=1时，y=-1；求y与x之间的函数关系式.11.已知：反比例函数xky和一次函数12xy，其中一次函数的图像经过点（k，5）.（1）试求反比例函数的解析式；（2）若点A在第一象限，且同时在上述两函数的图像上，求A点的坐标；12．如图已知一次函数8xy和反比例函数xky图象在第一象限内有两个不同的公共点A、B．（1）求实数k的取值范围；（2）若ΔAOB的面积S＝24，求k的值．