第4章_最优资产组合选择

•1952年3月，HarryMarkowitz，一个25岁的芝加哥大学研究生，在TheJournalofFinance上发表了一篇文章《资产组合选择》。•文章开始提到：“选择资产组合的过程可以分成两个阶段。第一阶段通过观察跟经验，获得相关证券未来业绩的预测。第二阶段通过相关的预测最终选择合理的资产组合”。•38年后，这篇文章使他获得了诺贝尔经济学奖。第4章最优资产组合选择HarryMarkwitz模型及其基本假设基本假设•投资者认为，每一项可供选择的资产在一定持有期内都存在预期收益率的概率分布（正态分布）；•投资者根据预期收益率的波动估计资产组合的风险；•投资者完全估根据预期收益率和风险做出决策，这样他们的效用曲线只是预期收益率和预期收益率标准差的函数；•投资者追求预期效用最大化；•投资者是风险厌恶者，（风险一定，偏好较高收益率；收益一定，偏好较小风险）（有效集）第一节资产组合的有效边界•完全竞争的金融市场（完善市场）–交易是无成本的，市场是可以自由进出的–信息是对称的和可以无偿获得地–存在很多交易者，没有哪一个交易者的行为对证券的价格产生影响–无税收，无买、卖空限制–证券无限可分，借贷利率相等(1),pfpErwErwrwEr进而容易得到投资组合期望收益与标准差之间的关系：上式就是当市场中只有一个风险资产和一个风险资产的时候，资产组合所有可能的风险-收益集合，又称为投资组合可行集。fpfpErrErr•在“期望收益-标准差”平面中对应着一条直线，穿过无风险资产rf和风险资产r，我们称这条直线为资本配置线（CapitalAllocationLine）。•资本配置线的斜率等于资产组合每增加以单位标准差所增加的期望收益，也即每单位额外风险的额外收益。因此，我们有时候也将这一斜率称为报酬与波动性比率，即Sharpe比率。fpfpErrErr•一般来讲，存款利率要低于贷款利率。如果把存款利率视为无风险收益率，那么投资者的贷款利率就要高于无风险利率。此时，资本配置线就变成一条折线。二、两个风险资产的组合假设市场中的资产是两个风险资产，例如一个股票和一个公司债券，且投资到股票上的财富比例为w，则投资组合的期望收益和标准差为：根据期望收益表达式，投资权重w为：同样，容易得到，两个风险资产构成的资产组合的期望和标准差之间的额关系式：222222222,(1)(1)2(1)(,)(1)2(1)pSBpSBSBSBSBSBErwErwEr22()()pppaErbErc)r~()r~()r~()r~(BSBpEEEE其中：22,222,22222,22222SBSBSBSBSSBBSBSBSBSBBSSBBSSBSBSBaErErErErErErbErErErErErErcErEr•情形一，此时，两个资产的收益率是完全正相关的，我们容易得到：•情形二，此时，两个资产的收益率是完全负相关的，类似可以得到：,1SB22(1)(1),01()PSBpSBSBpPBBSB如果22(1)(),(),PSBSBBSBBSBSBpSBBSBBSBSBwwErErErwErErErErw当时当时,1SB•情形三，此时，在期望-标准差平面中对应着两条双曲线。考虑到经济含义，我们只需考虑坐标轴第一象限内的部分：•在情形二和情形三中，我们可以根据最小方差点将可行集分为两个部分：位于最小方差点上方的部分（SE1和SE2）和位于最小方差点下方的部分（E1B和E2B）。对于风险规避的投资者而言，只会选择最小方差点上方的资产组合，我们称这部分资产组合为全部资产组合的效率边界（EfficientFrontier）。,11SB三、一个无风险资产与两个风险资产的组合假设两个资产的投资权重分为w1和w2，无风险资产的投资权重为1-w1-w2。两个风险资产构成一个风险资产组合，三个资产构成的投资组合可行集等价于一个风险资产组合与一个无风险资产构成的可行集。随着w1和w2的变化，风险资产的期望收益和方差并不是确定的值，而是不断变化的。给定w1和w2的某一比例k，在期望收益-方差平面中就对应着一个风险资产组合，该组合与无风险资产的连线形成了一条资本配置线，这条资产配置线就是市场中存在三个资产时的投资组合可行集合。我们容易发现，在所有资本配置线中，斜率最高的资本配置线在相同标准水平下拥有最大的期望收益率，也即与风险资产组合效率边界相切的一条线，我们称之为最优资本配置线，相应的切点组合P0被称为最优风险资产组合。第二节最优资产组合选择上一节中我们确定了市场的投资可行集。投资者接下来就是确定在可行集中进行资产组合的选择。对投资者的个人特征和行为准则做几个假定：•投资者都是风险规避的，即在收益相同的条件下，投资者会选择风险最低的投资组合。•投资者在最有资产组合的选择中只关心资产的均值、方差以及协方差。•最优资产组合就是使投资者效用达到最大的资产组合，换句话说，投资者在资产组合的选择过程中遵循效用最大化原则。一、不同市场环境下最优资产组合的选择定义效用为收益率的均值和标准差的函数，即•给定效用水平，在期望值-标准差平面中就是投资者的无差异曲线。•对于风险规避的投资者而言，期望收益的增加会提高投资者效用水平，标准差或者风险水平的增大则会降低效用水平，因此有：•在期望值-标准差平面中，无差异曲线就是一条向右上倾斜的曲线，并且左上方的无差异曲线代表的效用高水平要高于右下方无差异曲线的效用水平。•给定投资者的效用函数，当风险和期望的边际替代率是递减的时候，无差异曲线就是凸向原点的。(,),,()UUErVarr其中U0,0UU(,)UU(,)UU一个无风险资产和一个风险资产•此时，投资组合可行集就是通过无风险资产和风险资产的资本配置线。给定投资者的效用函数，我们可以通过描述不同效用水平下的无差异曲线，得到投资者的最优投资组合。•不同的投资者风险规避程度是不同的，因而在风险和收益之间的权衡也存在差异，对于风险规避程度较高的投资者而言，会将财富更多地投入到无风险资产中，从而获得较低风险水平的资产组合。两个风险资产•当市场中存在两个风险资产时，供投资者选择的有效资产组合就是上图中的双曲线上半部分的效率边界。随着无差异曲线向左上方移动，两者相切的切点即为最优资产组合。•不同投资者无差异曲线的形状不同，与效率边界的切点位置也不同。对于风险规避程度较高的投资者而言，他们会选择效率边界左侧、风险较低的资产组合。一个无风险资产和两个风险资产•当市场存在一个无风险和两个风险资产时，投资者会在两个风险资产构成的风险资产组合和无风险资产之间进行财富分配。•在所有通过无风险资产的资本配置线中，与效率边界相切的资本配置线在相同风险水平下拥有最大的期望收益，因此对于所有的投资者来说，他们都会在这条资本配置线上进行最优资产组合的选择。最优资产组合就是无差异曲线与资本配置线相切的点。二、分离定理分离定理（SeparationTheorem）：当市场中存在无风险资产和多个风险资产的时候，只要投资者是风险规避者，不管他具体的效用函数如何，他们选择的风险资产组合都是一样的，也就是无风险资产与效率边界相切的P点。投资者的效用函数或者说风险规避程度只决定了他持有的无风险资产和风险资产组合P的比例。根据这一定理，投资组合的选择过程可以分为两个阶段：•首先，投资者要根据各风险资产的期望收益、方差以及协方差确定最优风险资产组合。•之后，投资者在确定了最优风险资产组合的基础上，根据自身的风险规避程度确定投资在最有风险资产组合和无风险资产上的比例，从而得到最终的最优资产组合。（一）实际中的最优资产组合•分离原则暗示：一个资产组合经理会对所有顾客提供同样的风险资产组合。•实际上，不同的经理会关注整个金融资产的不同子集，获得不同的有效边界，并对他们的客户提供不同最优资产组合。为什么呢？（一）实际中的最优资产组合•资产组合选择原理建立在很多简化的假设上：–没有市场摩擦（税收、交易成本、金融资产的有限可分、市场分割）–投资者没有差别（例如：贫富、有消息来源与没有的、年轻的与年长的）–静态预期收益与方差——对收益和波动没有预测（例如：金融分析、会计信息、宏观经济变量在制定投资决策时不发挥任何作用）一些需要思考的重要问题•证券分析能提高资产组合的业绩么？•分析师的观点怎么介入证券选择？（二）风险厌恶与资产配置222max()0.005[()]0.005CCfPfPUErArwErrAw*2()PfpErrwA（二）风险厌恶与资产配置贷款人比借款人有更高的A贷款人借款人PE(r)第三节马科维茨资产组合选择模型一、马科维茨资产组合选择模型Markowitz（1952）的资产选择模型考察的是存在多个风险资产时，投资者最优资产组合的选择。边界资产组合（FrontierPortfolio）：如果一个资产组合在其期望收益相同的资产组合中拥有最小的方差，我们就称其为边界资产组合，所有边界资产组合构成的资产组合集构成一个投资组合边界（PortfolioFrontier）。Markowitz资产组合模型的假设：•市场中存在N=2个风险资产。每个资产的方差是有限的，每个资产的期望收益率都是不相等的，且各资产的回报率是线性独立的（LinearlyIndependent）。•投资者是风险规避的，在收益相等情况下，投资者会选择风险最低的投资组合。•投资期限为一期，在期初时，投资者按照效用最大化的原则进行资产组合的选择。•市场是完善的，无交易成本，且风险资产可以无限细分，投资者还可以对风险资产进行卖空操作。•投资者在最有资产最有资产组合的选择过程中，只关心风险资产的均值、方差以及不同资产间的协方差。在以上假设下，最有资产组合的选择问题就可以写成如下优化问题：•其中，w是风险资产组合中各资产的权重构成的向量；V为风险资产收益率的方差协方差矩阵；e为风险资产组合中各资产期望收益率构成的向量；1为单位向量。•为了解这个最优化问题，构造Lagrange函数如下：1min'2..''11wpwVwstweErw,,1min''1'12pwwVwErwew•该最优化问题的一阶条件为：•我们容易求得其中：10'01'10pdLVwedwdLErweddLwdppCErADBAErD111121''1'1'1AVeeVBeVeCVDBCA•将上述答案带回原式，得到最优资产组合的权重：•其中，g和h为两个一维向量，其表达式分别为•从上式可以看出，如果一个边界组合的期望收益率等于0，那么这一资产组合中各资产的权重就是g。如果一个边界组合的期望收益率等于1，组合中各项资产的权重就是g+h，因此，g和g+h就对应着投资组合边界上两个边界组合。•事实上，投资组合边界中任意资产组合都可以由任意两个期望收益率不相等的边界组合按照一定权重构建出来。PpwghEr11111(1)1()1gBVAVeDhCVeAVD二、存在无风险资产时的最优资产组合选择Tobin（1958a,1958b）对Markowitz的模型进行了改进，Tobin假定市场中除了N个风险资产外，还存在一个无风险资产，投资者可以按照无风险资产收益率rf借入或者借出