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1.3空间几何体的表面积和体积【知识总结】1．多面体的面积和体积公式名称侧面积(S侧)全面积(S全)体积(V)棱柱棱柱直截面周长×lS侧+2S底S底·h=S直截面·h直棱柱chS底·h棱锥棱锥各侧面积之和S侧+S底31S底·h正棱锥21ch′棱台棱台各侧面面积之和S侧+S上底+S下底31h(S上底+S下底+下底下底SS)正棱台21(c+c′)h′表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长。2．旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球S侧2πrlπrlπ(r1+r2)lS全2πr(l+r)πr(l+r)π(r1+r2)l+π(r21+r22)4πR2Vπr2h(即πr2l)31πr2h31πh(r21+r1r2+r22)34πR3表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台上、下底面半径，R表示半径。【知能训练】A：多面体的表面积和体积一．选择题1．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A=AB=2，BC=1，∠ABC=90°，若规定主（正）视方向垂直平面ACC1A1，则此三棱柱的左视图的面积为（）A．√B．2√C．4D．22．某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形，则该几何体的表面积为（）A．80B．24√+88C．24√+40D．1183．一个棱锥被平行于底面的平面所截，如果截面面积与底面面积之比为1：2，则截面把棱锥的一条侧棱分成的两段之比是（）A．1：4B．1：2C．1：（√−1）D．1：（√+1）4．正六棱台的两底边长分别为1cm，2cm，高是1cm，它的侧面积为（）A．√cm2B．9√cm2C．√cm2D．3√cm25．要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（）A．80元B．120元C．160元D．240元6．（文）四棱锥S-ABCD的底面是矩形，锥顶点在底面的射影是矩形对角线的交点，四棱锥及其三视图如图（AB平行于主视图投影平面）则四棱锥S-ABCD的体积=（）A．24B．18C．√D．87．某空间组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为（）A．48B．56C．64D．728．各棱长均为a的三棱锥的表面积为（）A．4√a2B．3√a2C．2√a2D．√a29．已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为（）A．√B．6√C．D．2√10．如图，在三棱柱A1B1C1-ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F-ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2，则V1：V2=．11．将边长为2的正方形沿对角线AC折起，以A，B，C，D为顶点的三棱锥的体积最大值等于．12．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=8．若AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点，则当底面ABC水平放置时，液面的高为．13．四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形，且PD垂直于底面ABCD，N为PB中点，则三棱锥P-ANC与四棱锥P-ABCD的体积比为．14．已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如图所示．若该四棱锥的侧视图为直角三角形，则它的体积为．15．如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，BC=2√，且∠A1AB=∠A1AC=60°，则该三棱柱的体积是．B：旋转体的表面积和体积1．如果圆锥的底面半径为√，高为2，那么它的侧面积是（）A．4√πB．2√πC．2√πD．4√π2．一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的全面积是（）A．5πB．4πC．3πD．2π3．如果圆锥的轴截面是正三角形（此圆锥也称等边圆锥），则此圆锥的侧面积与全面积的比是（）A．1：2B．2：3C．1：√D．2：√4．圆锥侧面积为全面积的，则圆锥的侧面展开图圆心角等于（）A．πB．πC．2πD．以上都不对5．圆台的上、下底面半径和高的比为1：4：4，母线长为10，则圆台的侧面积为（）A．81πB．100πC．14πD．169π6．已知球的直径SC=8，A，B是该球球面上的两点，AB=2√，∠SCA=∠SCB=60°，则三棱锥S-ABC的体积为（）7．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S1、S2，则S1：S2=（）A．1：1B．2：1C．3：2D．4：18．若两个球的表面积之比为1：4，则这两个球的体积之比为（）A．1：2B．1：4C．1：8D．1：169．体积相等的正方体、球、等边圆柱（即底面直径与母线相等的圆柱）的全面积分别为S1，S2，S3，那么它们的大小关系为（）A．S1＜S2＜S3B．S1＜S3＜S2C．S2＜S3＜S1D．S2＜S1＜S3二．填空题（共5小题）10．圆锥和圆柱的底面半径和高都是R，则圆锥的全面积与圆柱的全面积之比为．A．2√B．4√C．6√D．8√11．已知一个圆柱的侧面展开图是一个长和宽分别为3π和π的矩形，则该圆柱的体积是．12．在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm，母线长最短50cm，最长80cm，则斜截圆柱的侧面面积S=cm2．13．球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于．14．已知一圆柱内接于球O，且圆柱的底面直径与母线长均为2，则球为O的表面积为．15．已知A，B，C是球面上三点，且AB=AC=4cm，∠BAC=90°，若球心O到平面ABC的距离为2√，则该球的表面积为cm3．11．正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为1，此时四面体ABCD外接球表面积为．三．解答题（共3小题）16．如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的直径是6cm，圆柱筒长2cm．（1）这种“浮球”的体积是多少cm3（结果精确到0.1）？（2）要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶多少？17．（文）如图，球O的半径长为10√．（1）求球O的表面积；（2）求球O的体积；（3）若球O的小圆直径AB=30，求A、B两点的球面距离．18．设底面直径和高都是4厘米的圆柱的内切球为O．（1）求球O的体积和表面积；（2）与底面距离为1的平面和球的截面圆为M，AB是圆M内的一条弦，其长为2√，求AB两点间的球面距离．参考答案：A：1、A2、B3、C4、A5、C6、D7、C8、D9、D10、11、12、解：不妨令此三棱柱为直三棱柱，如图当侧面AA1B1B水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形．设△ABC的面积为S，则S梯形ABFE=S，V水=S•AA1=6S．当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h，则有V水=Sh，∴6S=Sh，∴h=6．故当底面ABC水平放置时，液面高为6．故答案为：613、1:414、15、2√B：1、C2、C3、B4、B5、B6、D7、C8、C9、C10、(1+√)：411、12、解：将相同的两个几何体，对接为圆柱，则圆柱的侧面展开，侧面展开图的面积S=[（50+80）×20π×2]/2=2600πcm2．故答案为：2600π13、314、8π15、64π16、解：（1）∵该“浮球”的圆柱筒直径d=6cm，∴半球的直径也是6cm，可得半径R=3cm，∴两个半球的体积之和为V球＝πR3＝π•27＝36πcm3…（2分）而V圆柱＝πR2•h＝π×9×2＝18πcm3…（2分）∴该“浮球”的体积是：V=V球+V圆柱=36π+18π=54π≈169.6cm3…（4分）（2）根据题意，上下两个半球的表面积是S球表＝4πR2＝4×π×9＝36πcm2…（6分）而“浮球”的圆柱筒侧面积为：S圆柱侧=2πRh=2×π×3×2=12πcm2…（8分）∴1个“浮球”的表面积为S＝＝m2因此，2500个“浮球”的表面积的和为2500S＝2500×＝12πm2…（10分）∵每平方米需要涂胶100克，∴总共需要胶的质量为：100×12π=1200π（克）…（12分）答：这种浮球的体积约为169.6cm3；供需胶1200π克．…（13分）17、解：（1）球的表面积为4πr2=1200π；…（4分）（2）球的体积V＝πr3＝4000√π；…（8分）（3）设球心为O，在△AOB中，球O的小圆直径AB=30，球O的半径长为10√．解得∠AOB＝，所以A、B两点的球面距离为π．…（15分）18、解：（1）∵底面直径和高都是4厘米的圆柱的内切球为O，∴球O的半径为2cm，∴球O的体积为π•23=，表面积4π•22=16π；（2）∵AB是圆M内的一条弦，其长为2√，∴∠AOB=，∴AB两点间的球面距离为．