资产定价理论第五讲

第五讲BS公式金融衍生工具概念•金融衍生工具（金融衍生产品),建立在基础产品、变量上，价格取决于基础金融产品价格变动派生金融产品。（1）基础金融产品既有现货金融产品：债券、股票、银行定期存款订单；也有衍生金融工具；（2）基础变量：利率、各类价格指数（CPI、PPI、航运价格指数...）、天气(温度、湿度）指数2019/9/3039/30/2019基本特征跨期性杠杆性不确定性、高风险性联动性F1F2F4F3衍生工具具有强大构造特性，多级合成新衍生产品，还可复制基础产品金融远期期货期权互换结构化金融衍生工具可按照产品形态、交易场所、基础工具种类、自身交易方法与特点等进行分类货币衍生工具利率衍生工具股权类产品衍生工具信用衍生工具其他衍生工具基本类型按基础工具分类衍生工具分类2019/9/3059/30/2019金融衍生工具功能投机降低交易成本微观功能ADBC价格发现套期保值资源配置降低国家风险容纳社会游资宏观功能2019/9/3069/30/2019产生与发展动因120世纪70年代利市、汇市、债市、股市剧烈波动，商业银行、投资机构、企业需要寻找避险工具220世纪80年代以来金融自由化推动3金融机构利润驱动4新技术革命提供物质基础与手段期权合约的基本概念期权(option)是最基本的金融衍生工具之一。根据较为严谨的定义，期权是一种衍生性合约(derivativecontract)，即当合约买方付出期权费(optionpremium)后，其在特定时间内可以根据合约载明的执行价格(exerciseprice)，享有向合约卖方买入或卖出一定数量标的物(underlyingassets)的权利，但无需承担必须买入或卖出该标的物的义务。如果上述权利的执行结果是买进标的物，则此期权称为“买入期权”或“看涨期权”(calloption)，简称为“买权(call)”；如果上述权利的执行结果是卖出标的物，则此期权称为“卖出期权”或“看跌期权”(putoption)，简称为“卖权(put)”按标的物不同分类商品期权金融期权石油类有色金属及贵金属农产品······股票外汇指数（股票指数、天气指数）利率······期权合约的分类按权利有效行使时间不同欧式期权(Europeanoption)百慕大式期权(Bermudaoption)美式期权(Americanoption)其他新型期权亚式期权(Asianoption)也称平均比率期权(averagerateoption)、两值期权(binaryoption)也称或有期权(allornothingoption)、障碍期权(barrieroption)、回顾期权(lookbackoption)、任选期权(chooseroption)、彩虹期权(rainbowoption)、复合型期权(compoundoption)“期权的期权”······期权的价值体现在期权费(optionpremium)上，期权费的多少及为期权的价格。期权费=内在价值(intrinsicvalue)+时间价值(timevalue)期权的收益曲线0俱乐部收益球员表现签入成本0PE0PE0PE0PEa.买入看涨期权收益曲线b.卖出看涨期权收益曲线c.买入看跌期权收益曲线d.卖出看跌期权收益曲线看涨期权多头看涨期权空头看跌期权多头看跌期权空头权利与义务有选择是否执行期权的权利，无义务只有根据多头要求执行或不执行期权的义务有选择是否执行期权的权利，无义务只有根据多头要求执行或不执行期权的义务期权费支付期权费收取期权费支付期权费收取期权费最大损失期权费无限损失期权费无限损失最大获利无限获利期权费无限获利期权费合约选择预期未来行情上涨预期未来行情下跌预期未来行情下跌预期未来行情上涨多空头项目期权合约的定价模型二叉树模型单期二叉树模型假设一个距离到期日还有一期的股票欧式买入期权，行权价格为K。假定在期权有效期内，股票不会支付任何现金红利。二叉树模型假设的标的股票价格S服从简单的平稳二项过程。在任何时点，价格可能上升至或者下降至。这一简单过程可以用二叉树表示为：uSdSSuSdS设表示买入期权的当前价值，表示期末股价上涨到时的期权价值，而表示期末股价下跌到时的期权价值。因为在买入期权的有效期内只剩下一期，可以得到：CuCdC,0uCMaxuSK,0dCMaxdSK,0uCMaxuSK,0dCMaxdSKC可以用下图描述：uSdS构造这样一个证券组合：(1)卖出一份买入期权；(2)买入份的标的股票。期初时，该证券组合的价值为：期末时，如果股票价格上涨，则该证券组合的价值为：期末时，如果股票价格下跌，则该证券组合的价值为：SCuuSCddSCSCuuSCddSC可以选择一个使得总体的证券组合是无风险的，即不论股价如何变动，证券组合的价值相同。!!!udnuSCdSCrnr可以得到：()udCCSud当为上值时，持有这一证券组合的投资者不承担风险，且该证券组合的终值确定已知。因此，投资者应该期望在该期内赚取无风险利率(r)：11dudSCuSCSCrr带入的表达式，可得：11ududdCCCCrSCdSSudSudCr11uddudCCrCuddCCudr111udrdurCCududCr整理得：定义：1rdud公式可进一步简化得：1-1+rudCCC对于上述公式的直观理解可以是：期权的的价值等于到期时期权价值的加权平均现值。公式中的权数通常被解释为风险中性概率，而这种衍生品定价方法也被称为风险中性定价法。多期二叉树模型在单期二叉树模型的基础上再增加一期，其变动情况如下图所示：SuSdS2dS2uSudSCuCdCddCuuCudC可能的股票价格变动（两期）可能的期权价格变动（两期）其中：表示如果股票价格增加两次，买入期权的价值表示如果股票价格下降两次，买入期权的价值表示如果股票价格上升一次又下降一次，买入期权的价值为uuC2,0MaxuSK2,0MaxdSKddCudC,0MaxudSK根据单期二叉树模型的结论，如果股票价格在1时期为，我们可以倒推在1时期的期权价值为：uS1-1+ruuuduCCC如果股票价格在1时期为，则1时期的期权价值为：dS1-1+ruuuddCCC考虑0时期，将与带入单期二叉树定价公式中uCdC1-1+rudCCC可以得到：111111uuududddCCCCrrCr即：2222111uuudddCCCCr按照完全相同的方法，从到期日往回推倒，可以建立起一个递归过程以得到具有任何时期的买入期权价值。可以证明对于任意n，其一般的估值公式为：0!10,!!1nnjjjnjjnnMaxudSKjnjCr在之前的讨论中，都是以买入期权为例。同样，模型也适用于卖出期权。卖出期权可表示为：0!10,!!1nnjjjnjjnnMaxKudSjnjPr布莱克—斯科尔斯(Black-Scholes)期权定价模型1973年，美国芝加哥大学教授费希尔·布莱克与迈伦·斯科尔斯发表了《期权定价和公司债务》一文。在该文中，他们提出了有史以来第一个期权定价模型，即Black-Scholes期权定价模型。该模型推导出了基于无红利支付股票的任何衍生证券价格必须满足的微分方程，并运用该方程得出了股票的欧式看涨期权和看跌期权的价值。B-S模型的8条基本假设：1，股票价格服从波动率和收益率为常数的随机过程；2，对卖空没有任何限制，卖空所得资金由交易者自行支配；3，没有交易费用和税收，且所有证券是高度可分的；4，在衍生证券的有效期内没有红利支付；5，不存在无风险套利机会；6，证券交易是连续的；7，无风险利率r为常数，且对所有到期日都相同；8，讨论的期权为欧式期权。在上述假设条件下，若当前为t时刻，期权到期日为T时刻，为股票在T时刻的价格，X为期权的执行价格，则欧式看涨期权到期日的期望价值为：TS到期日期望价值,0TEMaxSX因此，在风险中性的世界中，欧式看涨期权的现价c就是这个期望价值以无风险利率贴现的结果：,0rTtTceEMaxSX（1）根据假设条件1，可以推导出在风险中性世界中，具有对数正态分布性质，即服从如下的分布：TSlnTS2lnln,2TSNSrTtTt（2）利用积分的方法对式（1）右边求值，并将式（2）代入到式（1）中，最终可得：12rTtcSNdXeNd（3）式中为均值为0，标准差为1的标准正态分布的累计概率分布函数。Nx其中：21ln/2SXrTtdTt22ln/2SXrTtdTt21ddTt对于欧式看跌期权的定价，由于欧式期权不能提前执行，因此欧式看涨期权与欧式看跌期权之间在期权到期日具有平价关系：21rTtpXeNdSNdrTtcXepS所以，在已知的情况下，根据和之间的平价关系可以计算出的值为ccppBlack-Scholes模型的改进Black-Scholes模型提出后，由于其定价模型是关于股票期权的，因此在应用到股票指数期权、期货期权等方面需要作出一些改进。关于期货期权的改进经过证明，期货价格的行为类似于红利率等于r的股票价格行为，因此期货期权的定价可以和连续支付红利率为r的股票的定价相同。改进后的期货期权的定价模型为：12rTtceFNdXNd21rTtpeXNdFNd其中：21ln/2FXTtdTt22ln/2SXTtdTt基于红利支付股票期权的改进支付红利时股票价格会降低，因此，支付连续红利（红利率为q）使得股票价格的增长率比不支付红利率时减少了q。因此，基于红利支付股票期权的定价模型为：()12rTtqTtcSeNdXeNd其中：21ln/2SXrqTtdTt22ln/2SXrqTtdTt()21rTtqTtpXeNdSeNd此模型也能用于股指期权的定价。此时S表示股票指数的值，表示指数波动率，q表示指数的红利收益率。关于货币期权的改进为货币期权定价时，定义S为即期汇率，为汇率变动波动率，为外汇在其发行过程中的无风险利率，同时假设汇率与股票价格遵循相同的随机过程。可以证明外汇持有者收入的“红利收益率”等于外汇在其发行国的无风险利率，所以改进后的货币期权的定价模型为：其中：21ln/2fSXrrTtdTt22ln/2fSXrrTtdTtfrfr()12frTtrTtcSeNdXeNd()21frTtrTtpXeNdSeNdB-S公式1964年PaulSamuelson提出S.D.E（5.1）设V是看涨期权价格，S是股价，K是敲定价格，T是到期时间，则有B-S公式(5.2)B-S公式证明Step1由Ito公式运用对冲技巧，可将(5.1)化为如下形式(5.3)注意边界条件(看涨期权calloption）(5.4)求解区域为（5.3）与（5.4）构成了抛物型方