比例线段讲义

1精锐教育学科教师辅导讲义学员编号：年级：课时数：学员姓名：辅导科目：学科教师：应风平授课类型T（比例线段的概念）C（比例线段的性质）T（比例线段的应用）授课日期时段教学内容知识点1相似图形形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.知识点2比例线段的相关概念如果选用同一单位量得两条线段ba,的长度分别为nm,，那么就说这两条线段的比是nmba，或写成nmba::．注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位．在四条线段dcba,,,中，如果ba和的比等于dc和的比，那么这四条线段dcba,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注意：(1)当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式．(2)比例线段是有顺序的，如果说a是dcb,,的第四比例项，那么应得比例式为：adcb．知识点3比例的性质基本性质：(1)bcaddcba::；(2)bacbcca2::．注意：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bcad，除了可化为dcba::，还可化为dbca::，badc::，cadb::，cdab::，bdac::，abcd::，acbd::．更比性质(交换比例的内项或外项)：2()()()abcdacdcbdbadbca，交换内项，交换外项．同时交换内外项反比性质(把比的前项、后项交换)：cdabdcba．合比性质：ddcbbadcba．注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：dcdcbabaccdaabdcba等等．等比性质：如果)0(nfdbnmfedcba，那么banfdbmeca．注意：(1)此性质的证明运用了“设k法”，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．知识点4比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：(1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．(2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边．知识点5黄金分割把线段AB分成两条线段)(,BCACBCAC，且使AC是BCAB和的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中ABAC215≈0.618AB3经典题型分析：类型1比例线段1、已知a、b、c、d是四条线段，它们的长度如下，试判断它们是不是成比例线段？⑴a=1mm,b=0.8cm,c=0.02cm,d=4cm;⑵711acm,b=0.4cm,c=40cm,cmd213.[说明]解题小结：①统一单位；②从大到小（从小到大）排列；③通过求比例或求积判断.变式：1、（1）已知线段a＝30mm，b＝2cm，c＝45cm，d＝12mm，试判断a、b、c、d是否成比例线段.（2）已知a、b、c、d是比例线段，其中a＝6cm，b＝8cm，c＝24cm,则线段d的长度是多长？2、四条线段dcba,,,满足dcba，则以下比例式不成立的是____________A、dbcaB、cbadC、badbcaD、ddcbba3、⊿ABC中，如果4:3:CBAC，∠C的内角平分线交AB于P，那么PBPA:;4、已知a=3cm，b=6cm，求a，b，(a+b)的第四比例项.类型2比例的性质1、比例的基本性质2、（1）如果bcax，那么将x作为第四比例项的比例式是（）AxacbBbcxaCxcbaDcabx（2）若53yyx，则yx；4变式：1.43yx，则yyx__________;2.如果5:4:3::cba，那么cbacba3532；3.若0622yxyx，则yx:；4.三线段a、b、c中，a的一半的长等于b的四分之一长，也等于c的六分之一长，那么这三条线段的和与b的比等于（）A6:1B1:6C3:1D1:35.已知,4:)2()4(:xxx求x的值.2、比例的合比性质3、（1）已知3dcba，求ddcbba和（2）如果kdcba，那么ddcbba成立吗？（3）如果kdcba，那么ddcbba成立吗？为什么？合比性质：变式.2dcba，求ddcbba和和bbabba2-2和的值。53、比例的等比性质3、如果fedcba，那么bafdbeca成立吗？等比性质：变式：1、已知：).0(,52dbdcba则dbca2、已知：432zyx，求zyxzyx的值；3、若kacbbcacba，（cba,,都是实数），则k=______A.2B.-1C.2或-1D.无法确定类型3比例中项4、（1）线段a，b的积是625，则a、b的比例中项是；（2）数3和12的比例中项为____________变式：1、已知线段1a，4b，则线段ba,的比例中项为_____________；2、已知17,17ba，则ba,的比例中项为____________;3、如图，⊿ABC中，∠C=090，CD是斜边AB上的高，AD=9，BD=4，那么CD=；AC=；6AEAC类型4平行线线段成比例定理5、如图，⊿ABC中，DE∥BC，AD=3k，BD=3k，那么BCDE:；变式1.如图，DE∥BC,在下列比式中，不能成立的是（）.ADAEADBEC.DEAEBBCEC.ABACCADAE.DBABDECAC3、如图，1l∥2l∥3l，那么EGFG；3、在阳光下，身高1.68m的小强在地面上的影长为2m，在同一时刻，测得学校的旗在地面上的影长为18m.则旗杆的高度为_____（精确到0.1m）.6、如图，DE∥BC，DF∥AC，AD=4cm，BD=8cm，DE=5cm，求线段BF的长.变式：1、如图，已知△ABC，延长BC到D，使CD=BC.取AB的中点F，连接FD交AC于点E.（1）求的值（2）若AB=a,FB=EC，求AC的长.7EFAFFCFD2、如图，G为⊿ABC的重心，GF∥AC，求DF:FC、BC:BF的值；3、如图，已知△ABC中，AE:EB=1:3，BD:DC=2:1,AD与CE相交于F.求的值.类型5黄金分割比7、若线段AB=1，点C是线段AB的黄金分割点，且ACBC，则AC=________.变式：1、E、F为线段AB的黄金分割点，已知AB=10cm，则EF的长度为_____cm.2、今年我市各所学校开展“书香校园工程”，小明发现自己所阅读的一本书的宽与长之比为黄金分割比，已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（）A、12.36cmB、13.6cmC、32.36cmD、7.64cm3、如图，ABC中，CDAACABo,36,是角平分线，则ABCD等于()A、21-5B、22-5C、31-5D、32-58课后练习：一、填空1．,32ba则baa__________;2．已知,23yx求yxyx22_____________;3．在比例尺为1︰500000的地图上，量得甲、乙两地的距离是25㎝，则两地的实际距离是。4．已知点P在线段AB上，且AP︰PB＝2︰5，则AB︰PB＝，AP︰AB＝5．如图，已知ADAEDBEC，AD＝15，AB＝40，AC＝28，则AE＝。6．已知：线段a＝3，b＝2，c＝4，则b、a、c的第四比例项d＝；则a、b、(a－b)的第四比例项是；3a、(2a－b)的比例中项是。7.把一个矩形的硬纸片剪去一个正方形，若剩下的矩形与原矩形相似，那么原矩形的长边和短边之比为。8.求x：①5:3:4x②9:11:)2(xx③12::3xx④)1(::1xxx9.已知235xyz，且3x＋4z－2y＝40，求x、y、z的值。10.设实数a、b、c满足丨ba2丨+02332cacb，则a:b:c的值是多少？11.已知线段a＝7，b＝4，求线段a＋b与a－b的比例中项。ABCDE