电源电动势和内阻的测量方法及误差分析

第1页共7页关于电源电动势和内阻的几种测量方法及误差分析一、伏安法选用一只电压表和一只电流表和滑动变阻器，测出两组U、I的值，就能算出电动势和内阻。1电流表外接法1.1原理如图1-1-1所示电路图，对电路的接法可以这样理解：因为要测电源的内阻，所以对电源来说用的是电流表外接法。处理数据可用计算法和图像法：（1）计算法：根据闭合电路欧姆定律IrUE，有：测测rIUE11测测rIUE22可得：122112IIUIUIE测1221IIUUr测（2）图像法：用描点作图法作U-I图像，如图1-1-2所示：图线与纵轴交点坐标为电动势E，图线与横轴交点坐标为短路电流rEI短，图线的斜率的大小表示电源内阻IUr。1.2系统误差分析由于电压表的分流作用，电流表的示数I不是流过电源的电流0I，由电路图可知I0I。【1】计算法：设电压表的内阻为VR，用真E表示电动势的真实值，真r表示内阻的真实值，则方程应修正为：真真rRUIUEV，则有：rRUIUEV11真rRUIUEV22真解得：测真ERUUIIIUIUEV21121221，测真rRUUIIUUrV211221可见电动势和内阻的测量值都小于真实值。图1-1-2I短图1-1-1第2页共7页【2】图像修正法：如图1-1-3所示，直线①是根据U、I的测量值所作出的U-I图线，由于II0，而且U越大，I和I0之间的误差就越大，即VVRUI随着电压的减小而减小，而电压表的示数U就是电源的路端电压的真实值U0，除了读数会有误差外，可以认为U＝U0，经过修正后，直线②就是电源真实值的U-I图线，由图线可以很直观的看出：真测EE，真测rr。【3】等效法：把电压表和电源等效为一新电源，如图1-1-1虚线框所示，这个等效电源的内阻r为r真和RV的并联电阻，也就是测量值，等效电源的电动势为电压表和电源组成回路的路端电压，也就是测量值，即：真真真测rrRrRrrVV真真真测EErRREEVV由以上分析还可以知道，所选择的电压表内阻应适当大些，使得真rRV，减小系统误差，使得测量结果更接近真实值，综上所述，采用相对电源电流表外接法，由于电压表的分流导致了系统误差，使得真测EE，真测rr。2电流表内接法2.1原理如图1-2-1所示电路图，对电源来说是电流表内接，数据的处理也可用计算法和图像法（1）计算法：根据闭合电路欧姆定律E=U+Ir，有测测rIUE11测测rIUE22可得：122112IIUIUIE测1221IIUUr测II短图1-1-3E真E测图1-2-1第3页共7页（2）图像法：用描点作图法作U-I图像，其图像与图1-1-2所示图像相同，图线与纵轴交点坐标为电动势E，图线与横轴交点坐标为短路电流rEI短，图线的斜率的大小表示内阻所以电源内阻为IUr。2.2系统误差分析由于电流表的分压，电压表的示数U不是电源的路端电压U0，有UU0。【1】计算法：设电流表的内阻为RA，用E真表示电动势的真实值，r真表示内阻的真实值，方程应修正为：)(真真rRIUEA，则有：)(11真真rRIUEA)(22真真rRIUEA解得：测真EIIUIUIE122112测真rRIIUUIIRIIUUrAA1221121221)(可见电动势的测量值等于真实值，而内阻的测量值大于真实值。【2】图像修正法：如图1-2-2所示，直线①是根据U、I的测量值所作出的U-I图线，由于UU0，而且I越大，U和U0之间的误差就越大，即：AAIRU随着电流的减小而减小，而电流表的示数I就是流过电源的电流的真实值I0，除了读数会有误差外，可以认为I＝I0，经过修正后，直线②就是电源真实值的U-I图线，由图线可以很直观的看出真测EE，真测rr。【3】等效法：把电流表和电源等效为一新电源，如图1-2-1虚线框所示，这个等效电源的内阻r为r真和RA的串联总电阻，也就是测量值；等效电源的电动势为电流表和电源串联后的路端电压，也就是测量值，即真真测rrRrrA，真测EEE由以上分析可知，所选电流表的内阻应很小，才能使得真rRA，减小系统误差，但是这个要求在实验室测定干电池的内阻时是很难满足的。综上所述，采用相对电源电流表内接法，由于电流表的分压导致了系统误差，使得真测EE，真测rrE测图1-2-2第4页共7页总之，相对电源来说，电流表内、外接法总能测量电源的电动势E及内阻r，尽管电流表外接法测量时，真测EE，真测rr，但它产生的百误差较小，尽管电流表内接法测量时，真测EE，但测量内阻r时产生的误差较大，因此我们一般选择相对电源外接法来测量电源的电动势E及内阻r。二、安阻法1原理电路图如图2-1-1所示，调节电阻箱电阻R，测出两组I、R的值，由闭合电路欧姆定律)(rRIE就能算出电动势和内阻。其中I是电流表示数，R是电阻箱示数。)(11测测rRIE)(22测测rRIE解得：122121IIIIRRE）（测，122211IIRIRIr测2系统误差分析这种方法产生的系统误差和图1-2-1所示的电流表内接法是一样的，因为上式中的IR就相当于图1-2-1中的电压表所测的变阻器两端的电压U，误差产生的原因还是由于电流表的分压，IR的值并不是电源的路端电压，而只是R两端的电压。所以最终测得的电动势和内阻为电流表和电源串联后的新电源的电动势和内阻，即：真真测rrRrA，真测EE。三、伏阻法1原理用一只电压表和一只电阻箱测量，设计实验原理图如图3-1-1所示，调节R，测出两组U、R的值，由闭合电路欧姆定律rRUUE，就能算出电动势和内阻，其中U是电压表示数，R是电阻箱示数。则有：测测rRUUE11测测rRUUE22解得：12211221)(RURURRUUE测，21122121)(RURURRUUr测图2-1-1图3-1-1第5页共7页2系统误差分析这种方法产生的系统误差和图1-1-1所示的电流表外接法是一样的，因为上式中的RU就相当于图1-1-1中的电流表所测的流过变阻器的电流I，误差产生的原因是由于电压表的分流，RU的值并不是流过电源的电流，而只是流过R的电流。所以最终测得的电动势和内阻为电压表与电源并联后的新电源的电动势和内阻，所以测量值也都小于真实值，即：真测EE，真测rr。四、伏伏法在“测定电源电动势和内阻”的实验中，除待测电源（E，r），足够的连接导线外，实验室仅提供：两只量程合适的电压表21VV、及1V的内阻VR，一只单刀双掷开关S。实验原理图如图4-1-1所示。电压表1V的内阻已知，则可用1V测出它所在支路的电流，设当开关S与1接触时，电压表1V的读数为1U；当开关S与2接触时，电压表21VV、的读数分别为21UU、，则由欧姆定律IrUE，则有：rRUUE111，rRUUUE1121可得：1121UUUUE，11121UURUUUrV【说明】：此种方法测得的电动势和内阻均无系统误差。五、安安法用两只电流表，其中一只电流表已知内阻来测量，例如在测定一节干电池的电动势和内电阻的实验中，备有下列器材：①干电池（电动势E约为1.5V，内电阻r约为1.0Ω）；②电流表G（满偏电流3.0mA，内阻10gR）；③电流表A（量程0～0.6A，内阻约为0.5Ω）；④滑动变阻器R（0～20Ω，10A）；⑤滑动变阻器)1,100~0(AR；⑥定值电阻9903R；⑦开关和导线若干。图4-1-1图5-1-1第6页共7页为了准确地进行测量，实验电路图如图5-1-1所示。由闭合电路欧姆定律IrUE可知，只要能测出两组路端电压和电流即可，但题目中只给出两个电流表且其中一个电流表G的内阻已知，可以把内阻已知的电流表和定值电阻3R串联改装成一个电压表，分别测两组电流表G和A的读数，便可求出电源电动势和内阻，由闭合电路欧姆定律rIIRRIEGAgG)()(1131rIIRRIEGAgG)()(2232可得：112221213GAGAGAAGgIIIIIIIIRRE1122213GAGAGGgIIIIIIRRr【说明】此种方法测得的电动势和内阻均无系统误差。六、两种特殊的测量方法1利用电桥平衡测量电源电动势和内阻如图6-1-1所示的电路，调节变阻器R1和R2使电流表G的读数为0，此时电流表A1和A2的示数之和就是流过电源的电流I（即干路电流），电压表V1和V2的示数之和就是电源的路端电压U，则IrUE，两次调节R1和R2，使电流表G的示数变为0，读出四个电表的读数，便可求出电源电动势和内阻。设第一次两电流表示数之和为I1，两电压表示数之和为U1，则rIUE11；第二次两电流表示数之和为I2，两电压表示数之和为U2，则rIUE22，联立可得：122112IIUIUIE，1221IIUUr【说明】此方法同样无系统误差，并且不必考虑电表带来的误差，因为此时电表相当于电源的外电路电阻，精确程度取决于电流表G的灵敏程度。2用补偿法测量电源的电动势和内阻电源在没有电流通过时路端电压等于电源电动势的结论使我们有可能通过测量路端电压来测量电动势。但电压表的接入不可避免地会有电流流过电源，而电源或多或少总有内阻，因此这样测得的路端电压将略小于电动势。要精确地测定电动势，可以设法在没有电流流过电源的条件下测量它的路端电压。采用补偿法可以做到这一点，其原理电路图如图6-2-1所示。图6-1-1图6-2-1第7页共7页其中xE是被测电源，sE是标准电池（其电动势非常稳定并且已知），E是工作电源。AC是一段均匀的电阻丝（上有一滑片B），G是灵敏电流计。2.1测量电源电动势操作过程：先将开关K掷于1，调节滑片B使灵敏电流计电流为零，这时K与B点等电势，故ABxUE。设流过AB的电流为I，则：ABABxIRUE①（ABR是AB段的电阻）再将开关K掷于2，因一般SxEE，灵敏电流计的示数不会为零，调节滑片至另一点B以重新使灵敏电流计电流为零，由以上讨论，可得：BABASIRUE②（BAR是BA段的电阻）因两种情况下G都无电流，故式①与②中I相同，合并两式得：BAABBAABSxLLRREE∴SBAABxELLE。2.2测量电源内阻根据闭合电路欧姆定律IrEU可知，为了测定电源内阻r，必须要电源放出一定的电流I，通常情况下r为常数，为了控制回路中I的大小，要在电路中串联一个电阻箱R，电流的测量采用电流──电压变换法，即测量阻值足够准确的电阻（SR）两端电压，根据电压除以电阻算出电流值，测量电池内阻。rRUEUSx0，由于待测电池电动势xE为常量，)(0SSSRRRURRIU因此有：rRUERRRUSxSS00)(，解得：rRRREUSSx0式中0U与R为变量，如果取R为自变量，并与待测量r分开，变换上式可以得到RRERErRUSxSxS110，显然，01U与R成线性关系，其中斜率为SxREb1，截距为)(rRbRErRaSSxS则：SRbar【说明】此实验无系统误差，精确程度取决于电流表G的灵敏程度。