第1讲-求数列通项公式之累加法

1/4第1讲求数列通项公式之累加法（1）累加法：如果递推公式形式为：1nnaafn或)(1nfaann，则可利用累加法求通项公式注意：①等号右边为关于n的表达式，且能够进行求和②1,nnaa的系数相同，且为作差的形式③、具体操作流程之一：若1()nnaafn，则21321(1)(2)()nnaafaafaafn两边分别相加得111()nnkaafn例1：数列na满足：11a，且121nnnaa，求na解：121nnnaa1121nnnaa12121aa累加可得：2112221nnaan122112321nnnn22nnan例2：已知数列{}na满足11211nnaana，，求数列{}na的通项公式。解：由121nnaan得121nnaan则2/4112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnn所以数列{}na的通项公式为2nan比较例题1和例题2：它们有什么异同吗？【关键提示】：是否能利用累加法，首先要看能否将数列的递推公式整理成)(1nfaann或)2)((1nnfaann的形式；其次还要利用到等差数列的前n项和公式2)(1nnaanS或dnnnaSn2)1(1；等比数列的前n项和公式)1(1)1()1(11qqqaqnaSnn【变式训练】：变式1、已知数列na的首项为1，且naann21写出数列na的通项公式.变式2、在数列na中，01a且121naann，求数列na的通项公式。变式3、已知数列na满足31a，)2()1(11nnnaann，求此数列的通项公式.3/4变式4、在数列na中，31a，)1(11nnaann，求数列na的通项公式。变式5、已知数列na满足1321nnnaa，31a，求数列na的通项公式。【补充练习】：1、已知数列na满足11a，naann1，则数列na的通项公式为2、已知数列na满足11a，113nnnaa（Nn），则数列na的通项公式为3、已知数列na满足211a，23121nnaann（Nn），则数列na的通项公式为na。4、已知数列na满足98,)32()12()1(81221annnaann，则数列na的通项公式为na。5．已知na满足，且，求6．已知na满足，且，求21nnaa11ana21nnaa3n11ana4/47．已知na满足，且，求8.已知数列na满足，求。评注：已知aa1,)(1nfaann，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项na.①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。思考题：已知数列na中,0na且)(21nnnanaS,求数列na的通项公式.解:由已知)(21nnnanaS得)(2111nnnnnSSnSSS,化简有nSSnn212,由类型(1)有nSSn32212,又11aS得11a,所以2)1(2nnSn,又0na,2)1(2nnsn,则2)1(2)1(2nnnnan此题也可以用数学归纳法来求解.)2(311naannn11ana