第七章-量子力学的矩阵形式与表象变换

*第七章量子力学的矩阵形式与表象变换本章要求1.了解量子态在不同表象下的矩阵表示以及表象之间的幺正变换（幺正矩阵）。2.了解力学量算符的矩阵表示；了解量子力学公式(如薛定谔方程、本征方程、平均值等)的矩阵形式；3.了解Dirac符号§1量子态在不同表象下的矩阵表示与幺正变换§2力学量算符的矩阵形式§3量子力学公式的矩阵形式§4Dirac符号教学内容*第七章量子力学的矩阵形式与表象变换§1量子态在不同表象下的矩阵表示与幺正变换（一）例子Ψ(r,t)以坐标为自变量—坐标表象中的波函数表示(p,t)以动量为自变量—动量表象中的波函数表示同一个状态在不同表象下的表示表象=“坐标系”问题：量子态在其他力学量表象下的表示？表象之间的联系或变换关系？（二）希尔伯特（Hilbert）空间一个微观体系所有可能的量子态的态函数张成一个抽象的函数空间，称为希耳伯特空间，每一个量子态（不涉及表象）看成希耳伯特空间的一个“矢量”，称为态矢量。如同三维实空间需要建立一组正交、归一的基矢，即建立坐标系，空间中的任何矢量A才能按这组基矢展开（即矢量有了具体表示）：123ˆˆˆ{,,}eee112233ˆˆˆAAeAeAe那么，如何建立Hilbert空间的基矢组（表象）以便任何态矢量都能按此展开（态矢量的具体表示）？体系的任何一组对易力学量完全集F有完备的共同的本征函数组（其本征值谱可离散或连续），可以用来构成该态空间的一组正交、归一完备的基矢（称为F表象）。{}k因为体系的任何量子态（对应Hilbert空间的一个抽象矢量）可以按展开{}k(,)kjkj;kkka(,)kka这组数（a1,a2,…）就是量子态在F表象下的表示。k是F表象的基矢。可见，态函数张成的Hilbert空间的维数可以是有限的，也可无限的，甚至不可数的（基矢k为连续谱时），同时由于态函数是复数，Hilbert空间又是一个复空间。Hilbert空间的任意态矢量在坐标表象下的表示：(,)(')(')()kxxdxxx常用的表象：坐标表象，动量表象，能量表象。Q表象任何一个厄米算符Q的本征函数系具有正交、归一、完备性，也可以用来构成Hilbert空间的基矢从而建立所谓的Q表象。{}k例如，用坐标算符x的本征函数系（本征值谱x'连续）构成Hilbert空间的基矢，就是坐标表象。(')xx（三）量子态在不同表象中的矩阵表示在F表象(或Q表象)中，任意量子态的具体表示可以写成一个列矩阵：(,)kka12aa考虑另一力学量完全集F'(或者另一力学量算符Q')，其正交、归一完备的共同本征态构成新的基矢组：{'}(',')—F'表象或Q'表象'';a'(',)a任意态矢量在F'表象下的矩阵表示'(',)a12''aaF'表象下的具体表示（四）表象之间的变换—幺正变换F表象：;kkka''aF'表象：''kkkaa左乘'再取标积'(',)kkkaa令(',)kkS两个表象的基矢的标积，反映基矢之间的关系反映表象之间的变换关系？'kkkaSa则写成矩阵形式12''aa12aa11122122SSSSF'表象中的表示F表象中的表示表象间的变换矩阵S(',)kkS变换矩阵S是幺正矩阵SSSSI1SS相应的表象变换称为幺正变换。幺正变换的特点：变换后不改变矢量的长度(模)。因此态矢量（波函数）在表象变换下不改变模的大小，即相应的概率不变。§2力学量算符的矩阵表示力学量算符作用于量子态后变成另一态ˆLˆL(不涉及表象)因此，在Hilbert空间力学量算符相当于一个线性映射。一旦在Hilbert空间建立具体的表象，力学量算符（线性映射）就有了具体的数学表示：F表象基矢{k}kkkbkkkaˆkkkkkkbaLˆkkkkkkbaL左乘j再取标积ˆ(,)(,)kjkkjkkkbaLˆ(,)jkjkkbaL令ˆ(,)jkjkLLjjkkkbLa则有写成矩阵形式：12bb12aa11122122LLLLjjkkkbLa算符在F表象中的矩阵表示ˆLˆ(,)jkjkLL相应的矩阵元特别地，在算符L的自身表象中ˆ(,)jkjkLL（基矢k是算符L的本征态，对应本征值Lk）(,)jkkLkjkL因此，算符在其自身表象中是一个对角矩阵，即112200LL且由(*)式，对角元就是其本征值。（*）§3量子力学公式的矩阵表示（一）薛定谔方程的矩阵形式ˆiHt在F表象中()()kkktat()ˆ()kkkkkkatiatHt左乘j再取标积ˆ(,)(,)()()jkjkkkkkatiattH(,)jkij基矢的正交归一性ˆ(,)jkjkHH能量算符在F表象中的矩阵元()()jjkkkatiHatt或表示为12atiat12aa11122122HHHH此为薛定谔方程在F表象中的矩阵形式（二）本征值方程的矩阵形式力学量算符的本征值方程ˆLˆL（本征值）在F表象中，本征函数kkkaˆkkkkkkaLa左乘j再取标积ˆ(,)(,)kjkkjkkkaLajkkkjkkkLaaˆ(,)(,)kjkkjkkkaLa此为算符L的本征值方程在表象中的矩阵形式。120aa11122122LLLL或()0jkjkkkLa即(I)线性方程组(I)有非零解得条件是系数行列式等于0：1112132122233132330LLLLLLLLL—久期方程久期方程的解是一组值：123...，，，（即算符L的本征值谱）再将每个本征值代入方程(I)可解出相应的本征函数。（三）力学量平均值的矩阵形式在任意量子态下，力学量L的平均值ˆ=(,)LLkkka*,ˆ=(,)kjkjkjaaL*,=kkjjkjaLa12aa11122122LLLL**12aa平均值的矩阵形式§4Dirac符号在量子力学的理论表述时，常使用Dirac符号，它有两个优点：①无需具体的表象来讨论问题；②运算简捷，特别是针对表象变换；（一）右矢(Ket)和左矢(Bra)Dirac使用符号来表示态空间（即Hilbert空间）的一个抽象的态矢量(无关表象)，称符号为右矢。A.右矢当表示某个确定的量子态时，在右矢内写上该态的符号即可，例如表示量子态态对于本征态，常用本征值(或相应的量子数)标在右矢内，例如'x表示坐标本征态(本征值x')ornEn能量本征态(本征值En，n是量子数)lm角动量（l2,lz）的共同本征态(量子数分别是l和m)简记为使用Dirac符号B.左矢左矢用符号表示，代表右矢的共轭态，例如*和互为共轭态矢（二）标积任意两个态矢量和标积记为(,)*(,)*(,)定义于坐标表象脱离了具体表象正交归一化条件orkjkjkjkj以上各式均不涉及表象。(,)kjkj（三）态矢量在表象中的表示F表象的基矢记为，任意态矢可按基矢展开kkkak展开系数记为(,)kkakak态矢在表象中的表示kkkkkkkkkI（单位算符）kPkk定义投影算符（projectionoperator）其意义就是对任意态矢作用后，得到态矢量在基矢方向上的分量，即kkkPkkak基矢的封闭性对于连续谱的情形，求和换为积分，例如'''dxxxI'''dpppI（四）算符在表象中的表示ˆLˆkkL（F表象的基矢）kˆjkkLjj（封闭性）kjjkLj矩阵元（五）本征值方程在表象中的表示ˆLˆkLkˆjkLjjk（封闭性）kjjkjLaa()0kjkjjjLa（六）表象变换的Dirac符号表示F表象（基矢）中的表示：kkak考虑任意量子态F'表象（基矢）中的表示:bkbkk（封闭性）kkkSakSk变换矩阵元薛定谔波动力学与海森堡矩阵力学的等价性1.粒子的状态波函数可用Hilbert空间中一个抽象的矢量（称为态矢量)表示，只要在此空间内建立不同的坐标系(即“表象”)，则同一态矢量可有不同的表示方式。若在此空间内建立坐标表象，则此态矢量表示为，这就是薛定谔用以描述电子波动状态的波函数(x,t)。()xx若在此空间内建立F表象，则此态矢量表示为：12;kaaak此即海森堡的矩阵。2.另外，描述粒子运动状态的力学量L可用Hilbert空间中的线性映射表示：ˆ'L只要在此空间内建立不同的坐标系(即“表象”),则同一力学量L可有不同的表示方式。若在此空间内建立坐标表象，则ˆˆˆˆˆˆ(,)(,)LLrpLri此为薛定谔的线性厄米算符。若在此空间内建立F表象，则11122122ˆLLLLL此为海森堡的矩阵。3.求力学量L的可能取值问题转化为求Hilbert空间中算符L的广义本征值问题:ˆL在坐标表象中ˆˆ(,)()()Lrirr此即薛定谔的偏微分方程。在F表象中120aa11122122LLLL此即海森堡矩阵形式的本征方程。由此可见，波动力学与矩阵力学实际上是同一个形式理论的两种不同的表示方式。冯·诺意曼将这两大学说统一到Hilbert空间中，将量子力学在数学上归结为抽象空间论，也就是说，将量子力学的物理内容用抽象的空间表示出来。