第四次：高中文科数学平面向量知识点整理

-1-高中文科数学平面向量知识点整理1、概念向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量．相反向量：a=-bb=-aa+b=0向量表示：几何表示法AB；字母a表示；坐标表示：a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）.向量的模：设OAa，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：||a.（222222||,||axyaaxy。）零向量：长度为0的向量。a＝O｜a｜＝O.【例题】1.下列命题：（1）若ab，则ab。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若ABDC，则ABCD是平行四边形。（4）若ABCD是平行四边形，则ABDC。（5）若,abbc，则ac。（6）若//,//abbc，则//ac。其中正确的是_______2.已知,ab均为单位向量，它们的夹角为60，那么|3|ab＝_____2、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连⑵平行四边形法则的特点：共起点．⑶三角形不等式：ababab．⑷运算性质：①交换律：abba；②结合律：abcabc；③00aaa．baCabCC-2-⑸坐标运算：设11,axy，22,bxy，则1212,abxxyy．3、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设11,axy，22,bxy，则1212,abxxyy．设、两点的坐标分别为11,xy，22,xy，则．),(1212yyxxAB（1）①ABBCCD___；②ABADDC____；③()()ABCDACBD_____4、向量数乘运算：⑴实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a．①aa；②当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，0a．⑵运算律：①aa；②aaa；③abab．⑶坐标运算：设,axy，则,,axyxy．【例题】（1）若M（-3，-2），N（6，-1），且1MPMN3，则点P的坐标为_______5、向量共线定理：向量0aa与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba．设11,axy，22,bxy，（0b）22()(||||)abab。【例题】(1)若向量(,1),(4,)axbx，当x＝_____时a与b共线且方向相同6、向量垂直：0||||abababab12120xxyy.【例题】(1)已知(1,2),(3,)OAOBm，若OAOB，则m7、平面向量的数量积：⑴cos0,0,0180ababab．零向量与任一向量的数量积为0．⑵性质：设a和b都是非零向量，则①0abab．②当a与b同向时，abab；当a与b反向时，abab；22aaaa或aaa．③-3-abab．⑶运算律：①abba；②ababab；③abcacbc．⑷坐标运算：设两个非零向量11,axy，22,bxy，则1212abxxyy．若,axy，则222axy，或22axy．设11,axy，22,bxy，则a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0.则a∥ba＝λb(b≠0)x1y2＝x2y1.设a、b都是非零向量，11,axy，22,bxy，是a与b的夹角，则121222221122cosxxyyababxyxy；（注||||||abab）（1）△ABC中，3||AB，4||AC，5||BC，则BCAB_________（2）已知2,5,3abab，则ab等于____（（3）已知)2,(a，)2,3(b，如果a与b的夹角为锐角，则的取值范围是______8、b在a上的投影：即||cosb，它是一个实数，但不一定大于0。【例题】已知3||a，5||b，且12ba，则向量a在向量b上的投影为______2013年全国各地高考文科数学试题：平面向量一、选择题1．（2013年高考辽宁卷（文））已知点1,3,4,1,ABAB则与向量同方向的单位向量为（）A．3455，-B．4355，-C．3455，D．4355，2．（2013年高考湖北卷（文））已知点(1,1)A、(1,2)B、(2,1)C、(3,4)D,则向量AB在CD方向上的投影为（）A．322B．3152C．322D．31523（大纲卷）已知向量1,1,2,2,,=mnmnmn若则（）-4-A．4B．3C．-2D．-14．（湖南）已知a,b是单位向量,a·b=0.若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为____A．21B．2C．21D．225．（2013广东卷（文））设a是已知的平面向量且0a,关于向量a的分解,有如下四个命题:①给定向量b,总存在向量c,使abc;②给定向量b和c,总存在实数和,使abc;③给定单位向量b和正数,总存在单位向量c和实数,使abc;④给定正数和,总存在单位向量b和单位向量c,使abc;上述命题中的向量b,c和a在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．46．（2013年高考陕西卷（文））已知向量(1,),(,2)ambm,若a//b,则实数m等于（）A．2B．2C．2或2D．07．（辽宁卷（文））已知点30,0,0,,,.ABC,OAbBaa若为直角三角形则必有（）A．3baB．31baaC．3310babaaD．3310babaa8．（福建卷（文））在四边形ABCD中,)2,4(),2,1(BDAC,则该四边形的面积为（）A．5B．52C．5D．10二、填空题9．四川卷（文））如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,ABADAO,则_____________.10．（2013年高考天津卷（文））在平行四边形ABCD中,AD=1,60BAD,E为CD的中点.若·1ACBE,则AB的长为______.11．（重庆卷（文））OA为边,OB为对角线的矩形中,(3,1)OA,(2,)OBk,则实数k____________.-5-12．（山东卷（文））在平面直角坐标系xOy中,已知(1,)OAt,(2,2)OB,若90oABO,则实数t的值为______13．（浙江卷（文））设e1.e2为单位向量,非零向量b=xe1+ye2,x.y∈R..若e1.e2的夹角为6,则|x||b|的最大值等于_______.14．（安徽（文））若非零向量,ab满足32abab,则,ab夹角的余弦值为_______.15．（上海高考）已知正方形ABCD的边长为1.记以A为起点,其余顶点为终点的向量分别为1a、2a、3a;以C为起点,其余顶点为终点的向量分别为1c、2c、3c.若,,,1,2,3ijkl且,ijkl,则ijklaacc的最小值是________.16．（课标Ⅱ卷（文））已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则AEBD________.17．（课标Ⅰ卷）已知两个单位向量a,b的夹角为60,(1)ctatb,若0bc,则t_____.18．（2013年高考北京卷（文））已知点(1,1)A,(3,0)B,(2,1)C.若平面区域D由所有满足APABAC10（2，1）的点P组成,则D的面积为__________.2012高考文科试题：平面向量一、选择题1.全国文9】ABC中，AB边的高为CD，若CBa，CAb，0ab，||1a，||2b，则AD（A）1133ab（B）2233ab（C）3355ab（D）4455ab2.【2012高考重庆文6】设xR，向量(,1),(1,2),axb且ab，则||ab（A）5（B）10（C）25（D）103.【2012高考浙江文7】设a，b是两个非零向量。A.若|a+b|=|a|-|b|，则a⊥bB.若a⊥b，则|a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数λ，使得b=λaD.若存在实数λ，使得b=λa，则|a+b|=|a|-|b|4.【四川文7】设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使||||abab成立的充分条件是（）-6-A、||||ab且//abB、abC、//abD、2ab6.【2012高考辽宁文1】已知向量a=(1,—1)，b=(2,x).若a·b=1,则x=(A)—1(B)—12(C)12(D)19.【2102高考福建文3】已知向量a=（x-1,2），b=（2,1），则a⊥b的充要条件是A.x=-12B.x-1C.x=5D.x=010.【2012高考天津文科8】在△ABC中，A=90°，AB=1，设点P，Q满足AP=AB，AQ=(1-)AC，R。若BQCP=-2，则=（A）13（B）23C）43（D）2二、填空题1.【新课标文15】已知向量,ab夹角为45，且1,210aab；则_____b3.【湖南文15】如图4，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，3AP则APAC=.4.【2012高考浙江文15】在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则ABAC=________.9.【2012高考湖北文13】已知向量a=（1,0），b=（1,1），则（Ⅰ）与2a+b同向的单位向量的坐标表示为____________；（Ⅱ）向量b-3a与向量a夹角的余弦值为____________。2011高考文科平面向量一．选择题：1.（安徽卷2）若(2,4)AB，(1,3)AC,则BC（）A．（1，1）B．（－1，－1）C．（3，7）D．（-3,-7）8.（海南卷9）平面向量a，b共线的充要条件是（）A.a，b方向相同B.a，b两向量中至少有一个为零向量C.R，baD.存在不全为零的实数1，2，120ab-7-10.（湖南卷7）在ABC中，AB=3，AC=2，BC=10，则ABAC()A．23B．32C．32D．2311.（辽宁卷5）已知四边形ABCD的三个顶点(02)A，，(12)B，，(31)C，，且2BCAD，则顶点D的坐标为（）A．722，B．122，C．(32)，D．(13)，12.（山东卷8）已知abc，，为ABC△的三个内角ABC，，的对边，向量(31)(cossin)AA，，，mn．若mn，且coscossinaBbAcC，则角AB，的大小分别为（）A．ππ63，B．2ππ36，C．ππ36，D．ππ33，15.（重庆4)若点P分有向线段AB所成的比为-13，则点B分有向线段PA所成的比是(A)-32(B)-12(C)12(D)3二．填空题：1.（全国二13）设向量(12)(23)，，，ab，若向量ab与向量(47)，c共线，则．2.（北京)已知向量a与b的夹角为120，且4ab，那么ba的值为．4.（湖南卷11）已知向量)3,1(