简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

山东金榜苑文化传媒集团简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词步步高大一轮复习讲义常用逻辑用语命题及其关系简单的逻辑联结词充分条件必要条件充要条件量词命题充分条件充要条件必要条件且∧全称量词存在量词全称命题特称命题或∨p∧qp∨qp⇒qp⇐qp⇔qp或q非四种命题原命题：若p则q逆命题：若q则p否命题：若p则q逆命题：若q则p互逆互逆互否互否互为逆否等价关系四种命题的相互关系知识网络(2)命题p∧q，p∨q，￢p的真假判断pqp∧qp∨q￢p真真真假假真假假真真假假真假假真真假假真1.简单的逻辑联结词(1)命题中的“_____”、“_____”、“____”叫做逻辑联结词.或且非同真才真,一假必假同假才假,一真必真真假分明要点梳理忆一忆知识要点2.全称量词与存在量词“对所有的”“对任意一个”全称量词,()xMpx“存在一个”“至少有一个”存在量词00,()xMpx要点梳理忆一忆知识要点3.命题的否定(1)含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)∃x0∈M,￢p(x0)∀x∈M,￢p(x)全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是全称命题.要点梳理忆一忆知识要点(2)p或q,p且q的否定p⋀q的否定p⋁q的否定pqpq(3)一般命题的否定只否定结论命题平行四边形的对角线相等且互相平分命题的否定平行四边形的对角线不相等或不互相平分要点梳理忆一忆知识要点4.常用的正面叙述词语和它的否定词语正面词语等于(＝)大于(＞)小于(＜)是否定词语不等于(≠)不大于(≤)不小于(≥)不是正面词语至多有一个至少有一个任意的所有的都是否定词语至少有两个一个也没有某个某些不都是正面词语至多有n个任意两个否定词语至少有n+1个某两个[4,0]基础自测CA所有的三角形都不是等边三角形题号答案12345①②题型一探究提高含有逻辑联结词命题的真假判断【例1】已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数.则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(￢p1)∨p2和q4：p1∧(￢p2)中，真命题是.14,qq(1)判断含有逻辑联结词的复合命题的真假，关键是对逻辑联结词“且”“或”“非”含义的理解.(2)解决该类问题的基本步骤是：①弄清构成复合命题中简单命题p和q的真假；②明确其构成形式；③根据复合命题真假规律判断构成新命题的真假.变式训练1写出由下列各组命题构成的“p∨q”、“p∧q”、“¬p”形式的复合命题，并判断真假.(1)p：1是素数；q：1是方程x2＋2x－3＝0的根；(2)p：平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的对角线互相垂直；(3)p：方程x2＋x－1＝0的两实根的符号相同；q：方程x2＋x－1＝0的两实根的绝对值相等.解:(1)p∨q:1是素数或是方程x2＋2x－3＝0的根.真命题.p∧q：1既是素数又是方程x2＋2x－3＝0的根.假命题.¬p：1不是素数.真命题.(3)p∨q:方程x2＋x－1＝0的两实根的符号相同或绝对值相等.假命题.p∧q:方程x2＋x－1＝0的两实根的符号相同且绝对值相等.假命题.¬p：方程x2＋x－1＝0的两实根的符号不相同.真命题.(2)p∨q：平行四边形的对角线相等或互相垂直.假命题.p∧q：平行四边形的对角相等且互相垂直.假命题.¬p：有些平行四边形的对角线不相等.真命题.题型二【例2】写出下列命题的否定，并判断其真假.(1)p：∀x∈R，x2－x＋14≥0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：∃x0∈R，x20＋2x0＋2≤0；(4)s：至少有一个实数x0，使x30＋1＝0.解:(1)¬p：∃x0∈R，x20－x0＋140，假命题.(2)¬q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题.(3)¬r：∀x∈R，x2＋2x＋20，真命题.(4)¬s：∀x∈R，x3＋1≠0，假命题.解:(1)¬p：∃x0∈R，x20－x0＋140，假命题.(2)¬q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题.(3)¬r：∀x∈R，x2＋2x＋20，真命题.(4)¬s：∀x∈R，x3＋1≠0，假命题.解:(1)¬p：∃x0∈R，x20－x0＋140，假命题.(2)¬q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题.(3)¬r：∀x∈R，x2＋2x＋20，真命题.(4)¬s：∀x∈R，x3＋1≠0，假命题.解:(1)¬p：∃x0∈R，x20－x0＋140，假命题.(2)¬q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题.(3)¬r：∀x∈R，x2＋2x＋20，真命题.(4)¬s：∀x∈R，x3＋1≠0，假命题.含有一个量词的命题的否定探究提高全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别,否定全称命题和特称命题时,一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论.而一般命题的否定只需直接否定结论即可.变式训练2(原创预测)写出下列命题的否定，并判断真假.(1)p：∀x0，都有x2－x≤0；(2)q：∃x∈R,2x＋x2≤1.解:(1)ᆨp：∃x0，使x2－x0，为真命题.(2)ᆨq：∀x∈R,2x＋x21，为假命题.真命题假命题真命题真命题【1】判断下列命题的真假.【2】写出下列命题的否定，并判断其真假.例3.设a为实数，给出命题p：关于x的不等式≥|1|1()2xa的解集为∅，命题q：函数f(x)＝29lg[(2)]8axax的定义域为R，若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求a的取值范围.解：①若p正确，则由≤|1|10()12x，得a1.②若q正确，则ax2＋(a－2)x＋980解集为R.当a＝0时，－2x＋980不合题意，舍去；当a≠0时，则a0(a－2)2－4a×980，解得12a8.③∵p和q中有且仅有一个正确，∴a1a≤12或a≥8或a≤112a8，∴a≥8或12a≤1.②若q正确，则ax2＋(a－2)x＋980解集为R.当a＝0时，－2x＋980不合题意，舍去；当a≠0时，则a0(a－2)2－4a×980，解得12a8.③∵p和q中有且仅有一个正确，∴a1a≤12或a≥8或a≤112a8，∴a≥8或12a≤1.②若q正确，则ax2＋(a－2)x＋980解集为R.当a＝0时，－2x＋980不合题意，舍去；当a≠0时，则a0(a－2)2－4a×980，解得12a8.③∵p和q中有且仅有一个正确，∴a1a≤12或a≥8或a≤112a8，∴a≥8或12a≤1.根据含有逻辑联结词的命题的真假,求参数的取值范围题型三当a≠0时，则a0(a－2)2－4a×980，解得12a8.③∵p和q中有且仅有一个正确，∴a1a≤12或a≥8或a≤112a8，∴a≥8或12a≤1.当a≠0时，则a0(a－2)2－4a×980，解得12a8.③∵p和q中有且仅有一个正确，∴a1a≤12或a≥8或a≤112a8，∴a≥8或12a≤1.当a≠0时，则a0(a－2)2－4a×980，解得12a8.③∵p和q中有且仅有一个正确，∴a1a≤12或a≥8或a≤112a8，∴a≥8或12a≤1.当a≠0时，则a0(a－2)2－4a×980，解得12a8.③∵p和q中有且仅有一个正确，∴a1a≤12或a≥8或a≤112a8，∴a≥8或12a≤1.当a≠0时，则a0(a－2)2－4a×980，解得12a8.③∵p和q中有且仅有一个正确，∴a1a≤12或a≥8或a≤112a8，∴a≥8或12a≤1.含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的(一个或两个)命题真假，求出此时参数成立的条件，再求出含逻辑联结词的命题成立的条件.探究提高变式训练3已知a0，设命题p：函数y＝ax在R上单调递增；命题q：不等式ax2－ax＋10对∀x∈R恒成立.若p且q为假，p或q为真，求a的取值范围.解：∵函数y＝ax在R上单调递增，∴p：a1.不等式ax2－ax＋10对∀x∈R恒成立，∴a0且a2－4a0，解得0a4，∴q：0a4.∵“p∧q”为假，“p∨q”为真，∴p、q中必有一真一假.①当p真，q假时，a1a≥4，得a≥4.②当p假，q真时，0a≤10a4，得0a≤1.故a的取值范围为(0,1]∪[4，＋∞).∵“p∧q”为假，“p∨q”为真，∴p，q中必有一真一假.①当p真，q假时，a1a≥4，得a≥4.②当p假，q真时，0a≤10a4，得0a≤1.故a的取值范围为(0,1]∪[4，＋∞).解：∵函数y＝ax在R上单调递增，∴p：a1.不等式ax2－ax＋10对∀x∈R恒成立，∴a0且a2－4a0，解得0a4，∴q：0a4.∵“p∧q”为假，“p∨q”为真，∴p、q中必有一真一假.①当p真，q假时，a1a≥4，得a≥4.②当p假，q真时，0a≤10a4，得0a≤1.故a的取值范围为(0,1]∪[4，＋∞).∵“p∧q”为假，“p∨q”为真，∴p，q中必有一真一假.①当p真，q假时，a1a≥4，得a≥4.②当p假，q真时，0a≤10a4，得0a≤1.故a的取值范围为(0,1]∪[4，＋∞).∵“p∧q”为假，“p∨q”为真，∴p，q中必有一真一假.①当p真，q假时，a1a≥4，得a≥4.②当p假，q真时，0a≤10a4，得0a≤1.故a的取值范围为(0,1]∪[4，＋∞).∵“p∧q”为假，“p∨q”为真，∴p，q中必有一真一假.①当p真，q假时，a1a≥4，得a≥4.②当p假，q真时，0a≤10a4，得0a≤1.故a的取值范围为(0,1]∪[4，＋∞).(12分)已知c0，且c≠1，设p：函数y＝cx在R上单调递减；q：函数f(x)＝x2－2cx＋1在1(,)2上为增函数，若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围.借助逻辑联结词求解参数范围问题解：∵函数y＝cx在R上单调递减，∴0c1.[2分]即p：0c1，∵c0且c≠1，∴￢p：c1.[3分]又∵f(x)＝x2－2cx＋1在1(,)2上为增函数，∴c≤12.即q：0c≤12，∵c0且c≠1，∴￢q：c12且c≠1.[5分]又∵“p或q”为真，“p且q”为假，∴p真q假或p假q真.[6分]①当p真，q假时，{c|0c1}∩c|c12且c≠1＝c|12c1.[8分]②当p假，q真时，{c|c1}∩c|0c≤12＝∅.[10分]综上所述，实数c的取值范围是c|12c1.[12分]解：∵函数y＝cx在R上单调递减，∴0c1.[2分]即p：0c1，∵c0且c≠1，∴￢p：c1.[3分]又∵f(x)＝x2－2cx＋1在1(,)2上为增函数，∴c≤12.即q：0c≤12，∵c0且c≠1，∴￢q：c12且c≠1.[5分]又∵“p或q”为真，“p且q”为假，∴p真q假或p假q真.[6分]①当p真，q假时，{c|0c1}∩c|c12且c≠1＝c|12c1.[8分]②当p假，q真时，{c|c1}∩c|0c≤12＝∅.[10分]综上所述，实数c的取值范围是c|12c1.[12分]解：∵函数y＝cx在R上单调递减，∴0c1.[2分]即p：0c1，∵c0且c≠1，∴￢p：c1.[3分]