高等数学测试及答案(第一章)

1高等数学测试（第一章）一.选择题（每题2分，共20分）1.（2分）712arcsin16)(2xxxf的定义域为（）A．3,2B．4,3C．4,3D．4,32.（2分）已知函数)12(xf的定义域为1,0，则函数)(xf的定义域为（）A．1,21B．1,1C．1,0D．2,13.（2分）已知1)1(2xxxf，则)(xf=（）A．22xxB．12xxC．12xxD．12xx4.（2分）下列函数对为相同函数的是（）A．1)(,11)(2xxgxxxfB．3ln)(,ln3)(xxgxxfC．2ln)(,ln2)(xxgxxfD．2)(,)(xxgxxf5.（2分）若()fx()xR为奇函数，则下列函数一定为偶函数的是（）A．(2)fxB．(2)fxC．(||)fxD．2()fx6.（2分）函数122xxy的反函数为（）A．xxy1log2B．xxy1log2C．xxy1log2D．xxy1log27.（2分）已知极限22lim()0xxaxx，则常数a等于（）A．-1B．0C．1D．28.（2分）当0x时与x等价的无穷小量是（）2A．1xeB．ln(1)xC．11xD．1cosx9.（2分）点1x是函数311()1131xxfxxxx的（）A．连续点B．可去间断点C．跳跃间断点D．第二类间断点10.（2分）下列命题正确的是（）A．两无穷大之和为无穷大；B．两无穷小之商为无穷小；C．)(lim0xfxx存在当且仅当)(lim0xfxx与)(lim0xfxx均存在；D．)(xf在点0x连续当且仅当它在点0x既左连续又右连续．二．填空题（每题3分，共15分）11.（3分）函数()fx在点0x处有定义是()fx在0x处极限存在的________________.12.（3分）当0x时，无穷小ln(1)Ax与无穷小sin3x等价，则常数A=____________.13.（3分）已知函数()fx在点0x处连续，且当0x时，函数21()2xfx，则函数值(0)f=_____.14.（3分）若lim()xfx存在，且sin()2lim()xxfxfxx，则lim()xfx=________________.15.（3分）设函数xxxfgxxf1,21，则21g=________________.三．计算题(共55分)16.（5分）nnnnn2221...2111lim.17.（5分）)1(lim2xxxx.318.（5分）xxexxx2sin1lim3202.19.（5分）xxxxcot20)32sin1(lim.20.（5分）xxx1ln11lim0.21.（5分）30tansinlimxxxx.22.（5分）201sin1lim1xxxxe.23.（5分）xxx0lim.24.（7分）设3214lim1xxaxxx具有极限l，求,al的值.425.（8分）若)(lim1xfx存在，且23)(2xxxf)(lim1xfx，求)(xf和)(lim1xfx.四.证明题（共10分）26.（10分）设函数()fx，()gx均在闭区间,ab上连续，且有()()fagaa，()()fbgbb，证明：存在,ab（），使fg成立.5答案：一.选择题1—5BBDBC；6—10AABBD．二．填空题11、无关条件；12、3；13、0；14、1；15、3．三．计算题16.nnnnn2221...2111lim.【解析】因为),...,2,1(1111222nininnn，所以11...211122222nnnnnnnnn，而11limlim22nnnnnnn.由两边夹逼准则可知，11...2111lim222nnnnn.17.)1(lim2xxxx.【解析】原式211111lim1lim22xxxxxx.18.xxexxx2sin1lim3202.【解析】原式16116lim161lim3222lim81lim2202030320222xxxexxexxxexxxxxxxx.19.xxxxcot20)32sin1(lim.【解析】原式xxxxxxxxxxxxxxeexxtan32sinlimtan32sin0tan32sin32sin12020222lim)32sin1(lim623lim2sinlim32sinlim20020eeexxxxxxxxxx.20.xxx1ln11lim0.【解析】原式212111lim1lnlim1ln1lnlim0200xxxxxxxxxxxx.21.30tansinlimxxxx.【解析】原式=2322000sin1sin1cos1cos2limlimlimcoscos2xxxxxxxxxxxxx.22.201sin1lim1xxxxe.【解析】原式=2121limsin21lim22020xxxxxxx.23.（5分）xxx0lim.【解析】原式1lim011lim1lnlimlnlimln02000eeeeexxxxxxxxxxxx.24.设3214lim1xxaxxx具有极限l，求,al的值.【解析】因为1lim(1)0xx，所以321lim(4)0xxaxx，因此4a并将其代入原式321144(1)(1)(4)limlim1011xxxxxxxxlxx25.若)(lim1xfx存在，且23)(2xxxf)(lim1xfx，求)(xf和)(lim1xfx.7【解析】设Axfx)(lim1，对等式23)(2xxxf)(lim1xfx两边同时取极限1x可得，)(lim23lim)(lim1211xfxxxfxxx，即AxxAx23lim21，故4)(lim1Axfx.所以83)(2xxxf.四．证明题26.设函数()fx，()gx均在闭区间,ab上连续，且有()()fagaa，()()fbgbb，证明：存在,ab（），使fg成立.【证明】构造函数()()()Fxfxgxx，则函数()Fx在闭区间,ab上连续，而()()()0Fafagaa，()()()0Fbfbgbb，显然()()0FaFb于是由连续函数的零点定理知，(,),ab使得()0F，即存在,ab（），使fg.