2018版高中数学-第三章-空间向量与立体几何章末复习课-新人教B版选修2-1(1)

章空间向量与立体几何章末复习课学习目标1.理解空间向量的概念，掌握空间向量的运算法则及运算律.2.掌握空间向量数量积的运算及其应用，会用数量积解决垂直问题、夹角问题.3.理解空间向量基本定理，掌握空间向量的坐标表示.4.会用基向量法、坐标法表示空间向量.5.会用向量法解决立体几何问题．题型探究知识梳理内容索引当堂训练知识梳理知识点一空间中点、线、面位置关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a,b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则线线平行l∥m⇔a∥b⇔a＝kb.k∈R线面平行l∥α⇔⇔_________面面平行α∥β⇔μ∥v⇔_____________线线垂直l⊥m⇔⇔______线面垂直l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ.k∈R面面垂直α⊥β⇔μ⊥v⇔________μ·v＝0a⊥μa·μ＝0μ＝kv.k∈Ra⊥ba·b＝0线线夹角l,m的夹角为θ(0≤θ≤).cosθ＝线面夹角l,α的夹角为θ(0≤θ≤).sinθ＝面面夹角α,β的夹角为θ(0≤θ≤).cosθ＝π2π2π2|a·b||a||b||a·μ||a||μ||μ·v||μ||v|知识点二用坐标法解决立体几何问题步骤如下：(1)建立适当的空间直角坐标系；(2)写出相关点的坐标及向量的坐标；(3)进行相关坐标的运算；(4)写出几何意义下的结论．关键点如下：(1)选择恰当的坐标系.坐标系的选取很重要，恰当的坐标系可以使得点的坐标、向量的坐标易求且简单，简化运算过程．(2)点的坐标、向量的坐标的确定．将几何问题转化为向量的问题，必须确定点的坐标、直线的方向向量、平面的法向量，这是最核心的问题．(3)几何问题与向量问题的转化．平行、垂直、夹角问题都可以通过向量计算来解决，如何转化也是这类问题解决的关键．题型探究①SA→＋SB→＋SC→＋SD→＝0；②SA→＋SB→－SC→－SD→＝0；③SA→－SB→＋SC→－SD→＝0；④SA→·SB→＝SC→·SD→；⑤SA→·SC→＝0.类型一空间向量及其运算例1如图,在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A、B、C、D的距离都等于2.给出以下结论：其中正确结论的序号是________．③④答案解析向量的表示与运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、三角形法则及各运算公式，理解向量运算法则、运算律及其几何意义．反思与感悟跟踪训练1如图,在平行六面体A1B1C1D1-ABCD中，M分AC→成的比为12，N分A1D→成的比为2，设AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，试用a、b、c表示MN→.解答类型二利用空间向量解决位置关系问题例2四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中点，求证：(1)PC∥平面EBD；证明(2)平面PBC⊥平面PCD.证明(1)证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量．(2)证明线面平行的方法①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．②能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线．③利用共面向量定理.即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量．(3)证明面面平行的方法①转化为线线平行、线面平行处理．②证明这两个平面的法向量是共线向量．反思与感悟(4)证明两条直线垂直，只需证明这两条直线的方向向量垂直．(5)证明线面垂直的方法①证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量．②证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量互相垂直．(6)证明面面垂直的方法①转化为证明线面垂直．②证明两个平面的法向量互相垂直．跟踪训练2正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：平面AED⊥平面A1FD1.证明类型三利用空间向量求角例3如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形．(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；解答(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值．解答用向量法求空间角的注意点(1)异面直线所成角：两异面直线所成角范围为0°θ≤90°，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解．(2)直线与平面所成的角：要求直线a与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n与直线a的方向向量a的夹角的余弦cos〈n.a〉，再利用公式sinθ＝|cos〈n.a〉|.求θ.(3)二面角：如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量n1与n2，则平面α与β所成的角跟法向量n1与n2所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角．反思与感悟跟踪训练3如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F分别是线段BE，DC的中点．(1)求证：GF∥平面ADE；证明(2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值．解答当堂训练1.已知空间四边形ABCD,G是CD的中点,则AB→＋12(BD→＋BC→)等于A.AG→B.CG→C.BC→D.12BC→23451在△BCD中，因为点G是CD的中点，答案解析√所以BG→＝12(BD→＋BC→),从而AB→＋12(BD→＋BC→)＝AB→＋BG→＝AG→,故选A.234512.若a＝(0,1,－1),b＝(1,1,0),且(a＋λb)⊥a,则实数λ的值是A.－1B.0C.1D.－2a＋λb＝(λ,1＋λ,－1)．由(a＋λb)⊥a.知(a＋λb)·a＝0,∴λ×0＋(1＋λ)×1＋(－1)×(－1)＝0,解得λ＝－2.答案解析√234513.已知向量a＝(4－2m,m－1,m－1)与b＝(4,2－2m,2－2m)平行,则m＝________.1或3当2－2m＝0,即m＝1时,a＝(2,0,0),b＝(4,0,0),满足a∥b；当2－2m≠0,即m≠1时,综上可知,m＝3或m＝1.∵a∥b,∴4－2m4＝m－12－2m,解得m＝3.答案解析234514.已知平面α经过点O(0,0,0),且e＝(1,1,1)是α的一个法向量,M(x,y,z)是平面α内任意一点,则x,y,z满足的关系式是______________．x＋y＋z＝0OM→·e＝(x,y,z)·(1,1,1)＝x＋y＋z＝0.答案解析5.已知空间三点A(－2,0,2),B(－1,1,2),C(－3,0,4),设a＝AB→,b＝AC→.(1)若|c|＝3,且c∥BC→,求向量c；∴m＝±1,∴c＝(－2,－1,2)或c＝(2,1,－2)．∵c∥BC→,∴存在实数m,使得c＝mBC→＝m(－2,－1,2)＝(－2m,－m,2m),∵|c|＝3,∴－2m2＋－m2＋2m2＝3|m|＝3.解答23451∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1，又∵|a|＝12＋12＋02＝2,|b|＝－12＋02＋22＝5,∴cos〈a.b〉＝a·b|a||b|＝－110＝－1010,即向量a与向量b的夹角的余弦值为－1010.23451(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值．解答规律与方法解决立体几何中的问题，可用三种方法：几何法、基向量法、坐标法．几何法以逻辑推理作为工具解决问题；基向量法利用向量的概念及其运算解决问题；坐标法利用数及其运算来解决问题，坐标方法经常与向量运算结合起来使用．本课结束