3.3-垂径定理(1)

请观察下列三个银行标志有何共同点?圆的对称性圆是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？●O你是用什么方法解决上述问题的?圆的对称性圆是轴对称图形.圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.●O可利用折叠的方法即可解决上述问题.注意：对称轴是直线，不能说每一条直径都是它的对称轴；(1)该图是轴对称图形吗？(2)能不能通过改变AB、CD的位置关系,使它成为轴对称图形?直径CD和弦AB互相垂直如图,AB是⊙O的一条弦,CD是⊙O直径.特殊情况在⊙O中，AB为弦，CD为直径,CD⊥AB提问：你在图中能找到哪些相等的量？并证明你猜想的结论。MBAOCD如图,小明的理由是:连接OA,OB,●OABCDM└则OA=OB.在Rt△OAM和Rt△OBM中,∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.∴点A和点B关于CD对称.∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,⌒⌒AC和BC重合,⌒⌒AD和BD重合.⌒⌒∴AC=BC,⌒⌒AD=BD.探索规律能够重合的弧叫等弧垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.●OABCDM└CD⊥AB,几何语言如图∵CD是直径,∴AM=BM,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.条件CD为直径CD⊥ABCD平分弧ADBCD平分弦ABCD平分弧ACB结论探索规律分一条弧成相等的两条弧的点叫做这条弧的中点垂径定理EDCOABOBCADDOBCAOBACDOBAC作法：⒈连结AB.⒉作AB的垂直平分线CD，交弧AB于点E.点E就是所求弧AB的中点．CDABE例1已知AB，如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点．⌒变式一：求弧AB的四等分点．CDABEFGmn变式一：求弧AB的四等分点．CDABＭFGＴＥＮＨＰ强调：等分弧时一定要作弧所对的弦的垂直平分线．例2已知：如图，线段AB与⊙O交于C、D两点，且OA=OB．求证：AC=BD．思路：∴CM=DM∵OA=OB∴AM=BM∴AC=BD．．OABCMD作OM⊥AB，垂足为M圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距．小结：1．画弦心距是圆中常见的辅助线；．OABCrd2．半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：.222drAB弦长例3如图，一条排水管的截面。已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离OC。·ABOC1．已知⊙0的半径为13，一条弦AB的弦心距为5，则这条弦的弦长等于．242．如图，AB是⊙0的中直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不一定成立的是（）A.CE=DEB.BC=BDC．OE=BED．∠COE=∠DOE⌒⌒C．ABCODE目标训练3．过⊙O内一点M的最长弦长为10cm，最短弦长为8cm，那么OM长为（）A．3B．6cmC．cmD．9cm4．如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（）A．3≤OM≤5B．4≤OM≤5C．3OM5D．4OM5．ABOMAA416．已知⊙O的半径为10，弦AB∥CD，AB=12，CD=16，则AB和CD的距离为．2或145.如图，圆O的弦AB＝8㎝，DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D，求半径OC的长为DCEOAB5１．本节课主要内容：（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理．2．垂径定理的应用：（1）作图；（2）计算和证明．3．解题的主要方法：总结回顾.222drAB弦长（2）半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：（1）画弦心距是圆中常见的辅助线；1.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。求证：AC＝BD。E.ACDBO课外拓展2．如图，已知AB、AC为弦，OM⊥AB于点M，ON⊥AC于点N，BC=4，求MN的长．思路：由垂径定理可得M、N分别是AB、AC的中点，所以MN=BC=2．21．ACOMNB爱是什么？一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。风儿若有若无。一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？”“爱。”“为什么？”“它驱赶我的饥饿。”鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。“现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。”精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。“请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。“你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。”“我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。”“为什么？它能驱赶你的饥饿？”“不能。”“它能滋润你的干渴？”“不能。”爱是什么？一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。风儿若有若无。一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？”“爱。”“为什么？”“它驱赶我的饥饿。”鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。“现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。”精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。“请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。“你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。”“我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。”“为什么？它能驱赶你的饥饿？”“不能。”“它能滋润你的干渴？”“不能。”