空间向量与立体几何知识总结(高考必备!)

1ykiA(x,y,z)Ojxz辅导科目：数学授课教师：全国章年级：高二上课时间：教材版本：人教版总课时：已上课时：课时学生签名：课题名称教学目标重点、难点、考点教学步骤及内容空间向量与立体几何一、空间直角坐标系的建立及点的坐标表示空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐标系和向量a，设,,ijk（单位正交基底）为坐标向量，则存在唯一的有序实数组123(,,)aaa，使123aaiajak，有序实数组123(,,)aaa叫作向量a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，记作123(,,)aaaa．在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(,,)xyz，使OAxiyjzk，有序实数组(,,)xyz叫作向量A在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，记作(,,)Axyz，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标．二、空间向量的直角坐标运算律（1）若123(,,)aaaa，123(,,)bbbb，则112233(,,)abababab，112233(,,)abababab，123(,,)()aaaaR，112233//,,()ababababR，（2）若111(,,)Axyz，222(,,)Bxyz，则212121(,,)ABxxyyzz．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。（3）//abba112233()babaRba三、空间向量直角坐标的数量积1、设ba,是空间两个非零向量，我们把数量baba,cos||||叫作向量ba,的数量积，记作ba，即ba＝baba,cos||||规定：零向量与任一向量的数量积为0。2、模长公式222123||aaaxxx3、两点间的距离公式：若111(,,)Axyz，222(,,)Bxyz，则2222212121||()()()ABABxxyyzz，或222,212121()()()ABdxxyyzz．2ABCDE4、夹角：cos||||ababab．注：①0(,ababab是两个非零向量）；②22||aaaa。5、空间向量数量积的性质：①||cos,aeaae．②0abab．③2||aaa．6、运算律①abba；②)()(abba；③cabacba)(四、直线的方向向量及平面的法向量1、直线的方向向量：我们把直线l上的向量e以及与e共线的向量叫做直线l的方向向量2、平面的法向量：如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n，如果n，那么向量n叫做平面α的法向量。注：①若l，则称直线l为平面的法线；②平面的法向量就是法线的方向向量。③给定平面的法向量及平面上一点的坐标，可以确定一个平面。3、在空间求平面的法向量的方法：（1）直接法：找一条与平面垂直的直线，求该直线的方向向量。（2）待定系数法：建立空间直接坐标系①设平面的法向量为(,,)nxyz②在平面内找两个不共线的向量111(,,)axyz和222(,,)bxyz③建立方程组：00nanb④解方程组，取其中的一组解即可。五、证明1、证明两直线平行已知两直线a和b,bDCaBA,,,,则ba//存在唯一的实数使ABCD2、证明直线和平面平行（1）已知直线EDCaBAa,,,,,且三点不共线，则a∥存在有序实数对,使ABCDCE（2）已知直线,,,aBAa和平面的法向量n,则a∥nAB3、证明两个平面平行已知两个不重合平面,,法向量分别为nm,,则∥nm//4、证明两直线垂直已知直线ba,。bDCaBA,,,，则0CDABba5、证明直线和平面垂直已知直线和平面a，且A、Ba,面的法向量为m,则//aABm6、证明两个平面垂直已知两个平面,,两个平面的法向量分别为,mn,则mn六、计算角与距离1、求两异面直线所成的角3已知两异面直线ba,，,,,ABaCDb，则异面直线所成的角为：cosABCDABCD例题【空间向量基本定理】例1.已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且M分成定比2，N分PD成定比1，求满足的实数x、y、z的值。分析;结合图形，从向量出发，利用向量运算法则不断进行分解，直到全部向量都用、、表示出来，即可求出x、y、z的值。如图所示，取PC的中点E，连接NE，则。点评：选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的一项基本功，要结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量。再对照目标，将不符合目标要求的向量当作新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止，这就是向量的分解。有分解才有组合，组合是分解的表现形式。空间向量基本定理恰好说明，用空间三个不共面的向量组可以表示出空间任意一个向量，而且a,b,c的系数是惟一的。【利用空间向量证明平行、垂直问题】例2.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F。（1）证明：PA//平面EDB；（2）证明：PB⊥平面EFD；（3）求二面角C—PB—D的大小。点评：（1）证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量．4（2）证明线面平行的方法：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线；③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量．（3）证明面面平行的方法：①转化为线线平行、线面平行处理；②证明这两个平面的法向量是共线向量．（4）证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量互相垂直．（5）证明线面垂直的方法：①证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；②证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直．（6）证明面面垂直的方法：①转化为线线垂直、线面垂直处理；②证明两个平面的法向量互相垂直．【用空间向量求空间角】例3.正方形ABCD—中，E、F分别是，的中点，求：（1）异面直线AE与CF所成角的余弦值；（2）二面角C—AE—F的余弦值的大小。点评：（1）两条异面直线所成的角可以借助这两条直线的方向向量的夹角求得，即。（2）直线与平面所成的角主要可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角求得，即或（3）二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两法向量的夹角或其补角。【用空间向量求距离】例4.长方体ABCD—中，AB=4，AD=6，，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且|CP|=2，Q是DD1的中点，求：（1）异面直线AM与PQ所成角的余弦值；（2）M到直线PQ的距离；（3）M到平面AB1P的距离。5本题用纯几何方法求解有一定难度，因此考虑建立空间直角坐标系，运用向量坐标法来解决。利用向量的模和夹角求空间的线段长和两直线的夹角，在新高考试题中已多次出现，但是利用向量的数量积来求空间的线与线之间的夹角和距离，线与面、面与面之间所成的角和距离还涉及不深，随着新教材的推广使用，这一系列问题必将成为高考命题的一个新的热点。现列出几类问题的解决方法。（1）平面的法向量的求法：设，利用n与平面内的两个向量a，b垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取其一组解。（2）线面角的求法：设n是平面的一个法向量，AB是平面的斜线l的一个方向向量，则直线与平面所成角为nABnABsin则（3）二面角的求法：①AB，CD分别是二面角的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小为。②设分别是二面角的两个平面的法向量，则就是二面角的平面角或其补角。（4）异面直线间距离的求法：是两条异面直线，n是的公垂线段AB的方向向量，又C、D分别是上的任意两点，则。6（5）点面距离的求法：设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，则点B到平面的距离为。（6）线面距、面面距均可转化为点面距离再用（5）中方法求解。练习：1.若等边ABC的边长为23，平面内一点M满足1263CMCBCA，则MAMB_________2．在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B(1，-3，1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是________。3.（本小题满分12分）如图，在五面体ABCDEF中，FA平面ABCD,AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=12AD(I)求异面直线BF与DE所成的角的大小；(II)证明平面AMD平面CDE；（III）求二面角A-CD-E的余弦值。74．（本题满分15分）如图，平面PAC平面ABC，ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，,,EFO分别为PA，PB，AC的中点，16AC，10PAPC．（I）设G是OC的中点，证明：//FG平面BOE；（II）证明：在ABO内存在一点M，使FM平面BOE，并求点M到OA，OB的距离．5.如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PDABCD底面，点E在棱PB上.（Ⅰ）求证：平面AECPDB平面；（Ⅱ）当2PDAB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.8课后评价一、学生对于本次课的评价○特别满意○满意○一般○差二、教师评定本节课教学计划完成情况：照常完成□提前完成□延后完成□学生的接受程度：完全能接受□部分能接受□不能接受□学生的课堂表现：很积极□比较积极□一般□不积极□学生上次的作业完成情况：数量%完成质量分存在问题配合需求：家长：学习管理师：9知识漏点及后期计划：学习管理师：学科组长审核：教学主任审核：