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圆中常用的辅助线复习课OCBA【例1】如图，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在弧AMB上，则∠C的度数是________.【例2】如图，已知△ABC内接于⊙O，∠A=45°，BC=2，求⊙O的面积。1.遇到三角形的外接圆时常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。作用：①外心到三角形各顶点的距离相等，可得等腰三角形；②据圆周角的性质可得相等的圆周角。【例3】如图1，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8cm，OC=5cm，则OD的长是（）【例4】如图，⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上一个动点，那么OP的长的取值范围是_________．2.遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。OCBA【例5】如图，AB是⊙O的直径，AB=4，弦BC=2,∠B=3．遇到有直径时常常添加（画）直径所对的圆周角。作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。OCBA【例6】如图，AB、AC是⊙O的的两条弦，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，⊙O的半径是4．遇到90°的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。作用：利用圆周角的性质，可得到直径。【例7】如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C，交AB的延长线于D，求证：AC=CD．5．遇到有切线时常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。【例8】如图所示，已知AB是⊙O的直径，AC⊥L于C，BD⊥L于D，且AC+BD=AB。求证：直线L与⊙O相切。【例9】如图，△ABO中，OA=OB，以O为圆心的圆经过AB中点C，且分别交OA、OB于点E、F．求证：AB是⊙O切线；6．遇到证明某一直线是圆的切线时（1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径。（2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径），再证其与直线垂直。【例10】如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E，若△PDE的周长为12，∠P=60°则OA长为_________ABCDEPO7．遇到两相交切线时（切线长）常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。作用：据切线长及其它性质，可得到：①角、线段的等量关系；②垂直关系；③全等、相似三角形。【例11】如图，△ABC的周长为10，I是内心，内切圆半径r=1则△ABC的面积=8．遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。作用：利用内心的性质，可得：①内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；②内心到三角形三条边的距离相等。例已知：如图，以ABC△的边AB为直径的⊙o交边AC于点D，且过点D的切线DE平分边BC．（1）BC与⊙o是否相切？请说明理由；（2）当ABC△满足什么条件时，以点O，B，E，D为顶点的四边形是平行四边形？并说明理由．CEBOAD圆中常用的辅助线的做法：1.遇到三角形的外接圆时常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。2.遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。3．遇到有直径时常常添加（画）直径所对的圆周角。4．遇到90°的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。5．遇到有切线时常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）6．遇到证明某一直线是圆的切线时（1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径。（2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径），再证其与直线垂直。7．遇到两相交切线时（切线长）常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。8．遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。1.如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB。（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB=6，AE=，求BD和BC的长。2.如图3，在以O为圆心的两个同心圆中，小圆的半径长为2，大圆的弦AB与小圆交于点C、D，AC=CD，且∠COD=60°。（1）求大圆半径的长；（2）若大圆的弦AE与小圆切于点F，求AE的长。3..如图4，△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F。求证：（1）AD=BD；（2）DF是⊙O的切线。4.如图5，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AB上一点，以BD为直径作半圆O，与AC相切于点E。若BD=BC=6，求AC的长。