余数定理

定理1:两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。（1）7÷3=…1,5÷3=…2,这样（7+5）÷3的余数就等于1+2=3,所以余0.（2）8÷3=…2,5÷3=…2,2+2=43,4÷3…1,这样（8+5）÷3的余数就等于1.定理1有一种常见的考察方式，在往年的考试中也曾经出现，充分利用了定理1在加法余数计算中的优势。【例1】有8个盒子分别装有17个、24个、29个、33个、35个、36个、38个和44个乒乓球，小赵取走一盒，其余的被小钱、小孙、小李取走，已知小钱和小孙取走的乒乓球个数相同，并且是小李取走的两倍，则小赵取走的各个盒子中的乒乓球最可能是（）。A.29个B.33个C.36个D.38个解析：小钱和小孙都是小李的两倍，即小李是1份，小钱和小孙都是2份，三个人加起来是5份，也就是说三个人的和是5的倍数。因此，小李+小钱+小孙=总数量-小赵=5的倍数，总数量与小赵关于5同余。用定理1计算总数量除以5的余数，17个、24个、29个、33个、35个、36个、38个、44个余2余4余4余3余0余1余3余42+4+4+3+0+1+3+4=21÷5=4…1,总数量除以5余1,因此小赵除以5也余1,而这些数字显然只有36除以3余1,小赵只能是36个，应选C.定理2:两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。（1）7÷3余1,5÷3余2,这样（7×5）÷3的余数就等于1×2=2,所以余2.（2）5÷3余2,8÷3余2,2×2=43,4÷3余1,这样（5×8）÷3的余数就是1.【例2】有一条长1773mm的钢管，把它锯成长度分别为41mm和19mm两种规格的小钢管，结果恰好用完，则可能锯成41mm的钢管（）段。A.20B.31C.40D.52解析：设长度为41mm的钢管x段，19mm的钢管y段，可列方程41x+19y=1773,19y显然能被19整除，而1773÷19=93…6,因此41x÷19一定也余6,又41÷19余3,根据定理2,x÷19只能余2,选项中只有C选项满足此条件，应选C.三大余数定理1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b(modm)，左边的式子叫做同余式。同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有a≡b(modm)，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)例题精讲模块二：三大余数定理的应用【例1】有一个大于1的整数，除所得的余数相同，求这个数.【解析】这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．，，，的约数有，所以这个数可能为。【练习】1、有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【解析】(法1)，，，12的约数是，因为余数为3要小于除数，这个数是；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．，，，所以这个数是．2、在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0)【解析】我们知道18，33的最小公倍数为[18，33]=198，所以每198个数一次．1～198之间只有1，2，3，…，17，198(余O)这18个数除以18及33所得的余数相同，而999÷198=5……9，所以共有5×18+9=99个这样的数．3、(2008年仁华考题)一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数的和等于它除以19后所得到的商与余数的和．那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？【解析】设这个三位数为，它除以17和19的商分别为和，余数分别为和，则．根据题意可知，所以，即，得．所以是9的倍数，是8的倍数．此时，由知．由于为三位数，最小为100，最大为999，所以，而，所以，，得到，而是9的倍数，所以最小为9，最大为54．当时，，而，所以，故此时最大为；当时，，由于，所以此时最小为．所以这样的三位数中最大的是930，最小的是154．【例2】两位自然数与除以7都余1，并且，求．【解析】能被7整除，即能被7整除．所以只能有，那么可能为92和81，验算可得当时，满足题目要求，【练习】1、学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同．请问学校共有多少个班？【解析】所求班级数是除以余数相同的数．那么可知该数应该为和的公约数，所求答案为17．2、在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是_________．【解析】因为,，由于13511，13903，14589要被同一个数除时，余数相同，那么，它们两两之差必能被同一个数整除．，所以所求的最大整数是98．【例3】(2003年南京市少年数学智力冬令营试题)与的和除以7的余数是________．【解析】找规律．用7除2，，，，，，…的余数分别是2，4，1，2，4，1，2，4，1，…,2的个数是3的倍数时，用7除的余数为1；2的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2；2的个数是3的倍数多2时，用7除的余数为4．因为，所以除以7余4．又两个数的积除以7的余数，与两个数分别除以7所得余数的积相同．而2003除以7余1，所以除以7余1．故与的和除以7的余数是．【练习】1、在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组．这样的数组共有______组．【解析】1995，1998，2000，2001，2003除以9的余数依次是6，0，2，3，5．因为，，所以这样的数组共有下面4个：，，，．【例4】(2005年全国小学数学奥林匹克试题)有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______．【解析】，，除数应当是290的大于17小于70的约数，只可能是29和58，，，所以除数不是58．，，，，所以除数是【练习】1、(2002年全国小学数学奥林匹克试题)用自然数n去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=________【解析】n能整除．因为，所以n是258大于8的约数．显然，n不能大于63．符合条件的只有43．2、号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?【解析】本题可以体现出加法余数定理的巧用。计算101，126，173，193除以3的余数分别为2，0，2，1。那么任意两名运动员的比赛盘数只需要用2，0，2，1两两相加除以3即可。显然126运动员打5盘是最多的。【例5】(2002年《小学生数学报》数学邀请赛试题)六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱，一起到新华书店购买《成语大词典》．一看定价才发现有5个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本．这种《成语大词典》的定价是________元．【解析】六名小学生共带钱133元．133除以3余1，因为甲、乙、丙、丁、戊的钱恰好能买3本，所以他们五人带的钱数是3的倍数，另一人带的钱除以3余1．易知，这个钱数只能是37元，所以每本《成语大词典》的定价是(元)．【练习】1、(2000年全国小学数学奥林匹克试题)商店里有六箱货物，分别重15，16，18，19，20，31千克，两个顾客买走了其中的五箱．已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物重量是________千克．【解析】两个顾客买的货物重量是的倍数．，剩下的一箱货物重量除以3应当余2，只能是20千克．【例6】求的余数．【解析】因为，，，根据同余定理(三)，的余数等于的余数，而，，所以的余数为5．【练习】1、(华罗庚金杯赛模拟试题)求除以17的余数．【解析】先求出乘积再求余数，计算量较大．可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数．除以17的余数分别为2，7和11，．2、求的最后两位数．【解析】即考虑除以100的余数．由于，由于除以25余2，所以除以25余8，除以25余24，那么除以25余1；又因为除以4余1，则除以4余1；即能被4和25整除，而4与25互质，所以能被100整除，即除以100余1，由于，所以除以100的余数即等于除以100的余数，而除以100余29，除以100余43，，所以除以100的余数等于除以100的余数，而除以100余63，所以除以100余63，即的最后两位数为63．3、除以13所得余数是_____.【解析】我们发现222222整除13，2000÷6余2，所以答案为22÷13余9。4、求除以7的余数．【解析】法一：由于(143被7除余3)，所以(被7除所得余数与被7除所得余数相等)而，（729除以7的余数为1），所以．故除以7的余数为5.法二：计算被7除所得的余数可以用找规律的方法，规律如下表：于是余数以6为周期变化．所以．5、（2007年实验中学考题）除以7的余数是多少？【解析由于，而1001是7的倍数，所以这个乘积也是7的倍数，故除以7的余数是0；7、被除所得的余数是多少？【解析】31被13除所得的余数为5，当n取1，2，3，时被13除所得余数分别是5，12，8，1，5，12，8，1以4为周期循环出现，所以被13除的余数与被13除的余数相同，余12，则除以13的余数为12；30被13除所得的余数是4，当n取1，2，3，时，被13除所得的余数分别是4，3，12，9，10，1，4，3，12，9，10，以6为周期循环出现，所以被13除所得的余数等于被13除所得的余数，即4，故除以13的余数为4；所以被13除所得的余数是．7、(2008年奥数网杯)已知，问：除以13所得的余数是多少？【解析】2008除以13余6，10000除以13余3，注意到；；；根据这样的递推规律求出余数的变化规律：20082008除以13余，200820082008除以13余，即200820082008是13的倍数．而除以3余1，所以除以13的余数与除以13的余数相同，为6.8、除以41的余数是多少？【解析】找规律：，，，，，……，所以77777是41的倍数，而，所以可以分成399段77777和1个7组成，那么它除以41的余数为7．9、除以10所得的余数为多少？【解析】求结果除以10的余数即求其个位数字．从1到2005这2005个数的个位数字是10个一循环的，而对一个数的幂方的个位数，我们知道它总是4个一循环的，因此把所有加数的个位数按每20个(20是4和10的最小公倍数)一组，则不同组中对应的个位数字应该是一样的．首先计算的个位数字，为的个位数字，为4，由于2005个加数共可分成100组另5个数，100组的个位数字和是的个位数即0，另外5个数为、、、、，它们和的个位数字是的个位数3，所以原式的个位