新北师大版八年级数学上册第二章实数知识点总结+练习

第二章：实数知识梳理【无理数】1.定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。2.常见无理数的几种类型：（1）特殊意义的数，如：圆周率以及含有的一些数，如：2-，3等；（2）特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如：2.01001000100001…（两个1之间依次多1个0）等。（3）无理数与有理数的和差结果都是无理数。如：2-是无理数（4）无理数乘或除以一个不为0的有理数结果是无理数。如2,（5）开方开不尽的数，如:39,5,2等；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：9等；无理数也不一定带根号，如：）3.有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。例：（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③75、④π、⑤252.、⑥32、⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿。（填序号）（2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-,4,32其中无理数有()个【算术平方根】：1.定义：如果一个正数x的平方等于a，即ax2，那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，记为：“a”，读作，“根号a”，其中，a称为被开方数。例如32=9，那么9的算术平方根是3，即39。特别规地，0的算术平方根是0，即00，负数没有算术平方根2.算术平方根具有双重非负性：（1）若a有意义，则被开方数a是非负数。（2）算术平方根本身是非负数。3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a。例：（1）下列说法正确的是（）A．1的立方根是1；B．24；（C）、81的平方根是3；（D）、0没有平方根；（2）下列各式正确的是（）A、981B、14.314.3C、3927D、235（3）2)3(的算术平方根是。（4）若xx有意义，则1x___________。（5）已知△ABC的三边分别是,,,cba且ba,满足0)4(32ba，求c的取值范围。（6）（提高题）如果x、y分别是4－3的整数部分和小数部分。求x－y的值.平方根：1.定义：如果一个数x的平方等于a，即ax2，那么这个数x就叫做a的平方根；，我们称x是a的平方（也叫二次方根），记做：)0(aax2.性质：（1）一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；（2）0只有一个平方根，它是0本身；（3）负数没有平方根例（1）若x的平方根是±2，则x=；16的平方根是（2）当x时，x23－有意义。（3）一个正数的平方根分别是m和m-4，则m的值是多少？这个正数是多少？3.的性质与22)0()(aaa（1）77)0()22）如：（aaa（2）||2aa中，a可以取任意实数。如5|5|523|3-|3-2）（例：1.求下列各式的值（1）27（2）27-）（（3）249-）（2.已知1)12aa（，那么a的取值范围是。3.已知2＜x＜3,化简|3|)-22xx（。【立方根】1.定义：一般地，如果以个数x的立方等于a，即x3=a,那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）记为3a，读作，3次根号a。如23=8，则2是8的立方根，0的立方根是0。2.性质：正数的立方根的正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。立方根是它本身的数有0,1，-1.例：（1）64的立方根是（2）若9.28,89.233aba，则b等于（3）下列说法中：①3都是27的立方根，②yy33，③64的立方根是2，④4832。其中正确的有（）A、1个B、2个C、3个D、4个【估算】用估算法确定无理数的大小：对于带根号的无理数的近似值得确定，可以通过平方运算或立方运算并采用“夹逼法”，即两边无限逼近，逐级夹逼来完成。首先确定其整数部分的范围，再确定十分位，百分位等小数部分。“精确到”与“误差小于”的区别：精确到1m，是指四舍五入到个位，答案唯一；误差小于1m，答案在其值左右1m内都符合题意，答案不唯一。方法点拨：解决此类问题的关键是依据平方根（立方根）及开平方（开立方）的定义，进而采取两边夹逼的办法求解。例：估算下列各数的大小（1））（误差小于1.0327（2））（精确到1.0327（3））（误差小于133453用估算的方法比较数的大小用估算法比较两个数的大小，一般至少有一个是无理数，且在比较大小时，一般先采用分析法，估算出无理数的大致范围，再作具体比较当比较两个带根号的无理数的大小时可用如下结论：（1）若a＞b≥0,则ba（2）若a＞b，则3333baba或（3）若a、b都为正数，且a＞b时，则a2＞b2例：通过估算比较下列各组数的大小比较两个数的大小：方法一：估算法。如3＜10＜4方法二：作差法。如a＞b则a-b＞0.方法三：乘方法.如比较3362与的大小。例：比较下列两数的大小（1）2123-10与（2）5325与【实数】定义：（1）有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，最大的负整数是-1。（2）实数也可以分为正实数、0负实数。实数的性质：实数a的相反数是-a；实数a的倒数是a1（a≠0）；实数a的绝对值|a|=)0()0(aaaa，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，0大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理数的一实数与数轴的关系：每个实数与数轴上的点是一一对应的（1）每个实数可以以用数轴上的一个点来表示。（2）数轴上的每个点都表示已个实数。例：（1）下列说法正确的是（）；A、任何有理数均可用分数形式表示；B、数轴上的点与有理数一一对应；C、1和2之间的无理数只有2；D、不带根号的数都是有理数。（2）a，b在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是()A、baB、abC、baD、ab（3）比较大小(填“”或“”).310，3320，76______67，21521，（4）数7,2,3的大小关系是()A.732B.372C.273D.327（5）将下列各数：51,3,8,23，用“＜”连接起来；______________________________________。（6）若2,3ba，且0ab，则：ba=。【二次根式】定义：形如）（0aa的式子叫做二次根式，a叫做被开方数注意：（1）从形式上看二次根式必须有二次根号“”，如9是二次根式，而9=3,3显然就不是二次根式。（2）被开方数a可以是数，也可以是代数式。若a是数，则这个数必须是非负数；若a是代数式，则这个代数式的取值必须是非负数，否则没有意义。例：下列根式是否为二次根式（1）3-（2）｜｜3-（3）a-（4）32二次根式的性质：性质1：)0,0(.babaab积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，运用这个性质也可以对二次根式进行化简。a0b性质2：)0,0.(bababa商的算术平方根等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根。最简二次根式：被开方数中不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式。例：1.化简：（1）1512（2）)0(2724bba（3）x942.计算：32278115.041323811613125.03.已知：064.01,121732yx，求代数式3245102yyxx的值。6.（提高题）观察下列等式：回答问题：①2111111112111122②6111212113121122③12111313114131122，……（1）根据上面三个等式的信息，请猜想2251411的结果；（2）请按照上式反应的规律，试写出用n表示的等式，并加以验证。课后练习一、重点考查题型：1.－1的相反数的倒数是2.已知｜a+3|+b+1＝0，则实数（a+b）的相反数3.数－3．14与－Л的大小关系是4.和数轴上的点成一一对应关系的是5.和数轴上表示数－3的点A距离等于2．5的B所表示的数是6.在实数中Л,－25,0,3,－3．14,4无理数有个7．一个数的绝对值等于这个数的相反数，这样的数是（）（A）非负数（B）非正数（C）负数（D）正数8．若x＜－3，则｜x＋3｜=。9．下列说法正确是（）（A）有理数都是实数（B）实数都是有理数（B）带根号的数都是无理数（D）无理数都是开方开不尽的数10．实数在数轴上的对应点的位置如图，比较下列每组数的大小：（1）c-b和d-a（2）bc和ad二、考点训练：*1．判断题：（1）如果a为实数，那么－a一定是负数；（）（2）对于任何实数a与b,|a－b|=|b－a|恒成立；（）（3）两个无理数之和一定是无理数；（）（4）两个无理数之积不一定是无理数；（）（5）任何有理数都有倒数；（）（6）最小的负数是－1；（）（7）a的相反数的绝对值是它本身；（）（8）若|a|=2,|b|=3且ab0，则a－b=－1；（）2．把下列各数分别填入相应的集合里－|－3|，21．3，－1．234，－227,0，－9,－3－18,－Л2,8,(2－3)0，3－2，ctg45°,1.2121121112．．．．．．中无理数集合｛｝负分数集合｛｝整数集合｛｝非负数集合｛｝*3．已知1x2，则|x－3|+(1-x)2=。4．下列各数中，哪些互为相反数？哪些互为倒数？哪些互为负倒数？－3,2－1，3，－0．3，3－1，1+2，313互为相反数：互为倒数：互为负倒数：*5．已知ｘ、ｙ是实数，且（X－2）2和｜ｙ＋2｜互为相反数，求ｘ，y的值6.ａ,b互为相反数，c,d互为倒数，m的绝对值是2，求|a+b|2m2+1+4m-3cd=。*7．已知（ａ－3ｂ）2＋｜ａ2－4｜a+2＝0，求ａ＋ｂ=。三、解题指导：1．下列语句正确的是（）A、无尽小数都是无理数B、无理数都是无尽小数C、带拫号的数都是无理数D、不带拫号的数一定不是无理数。2．和数轴上的点一一对应的数是（）A、整数B、有理数C、无理数D、实数2．零是（）A、最小的有理数B、绝对值最小的实数C、最小的自然数D、最小的整数4.如果a是实数，下列四种说法：（1）ａ2和｜ａ｜都是正数，（2）｜ａ｜＝－ａ，那么ａ一定是负数，（3）ａ的倒数是1a，（4）ａ和－ａ的两个分别在原点的两侧，几个是正确的有个*5．比较下列各组数的大小：(1)32312(2)ab0时,1a1b6．若a,b满足|4-a2|+a+ba+2=0,则2a+3ba的值是*7．实数a,b,c在数轴上的对应点如图，其中O是原点，且|a|=|c|（1）判定a+b,a+c,c-b的符号（2）化简|a|-|a+b|+|a+c|+|c-b|*8．数轴上点A表示数－1，若AB＝3，则点B所表示的数为9．已知x0,y0，且y|x|，用连结x，－x，－|y|，y。10．最大负整数、最小的正整数、最小的自然数、绝对值最小的实数各是什么？11．绝对值、相反数、倒数、平方数、算术平方根、立方根是它本身的数各是什么？12．把下列语句译成式子：（1）a是负数；（2）a、b两数异号；（3）a、b