平面向量的正交分解及坐标表示的教学案例

平面向量的正交分解及坐标表示的教学案例一.案例要解决的教学困惑：在高中数学教材中，很多知识，如果学生记住结论，学生就能解决一系列的数学题目。对于这类知识的教学一直困扰我很久。到底是简单地让学生记住一个公式，一个结论，或是纯粹地模仿技能，还是要让学生通过不断的思考、探究、实践，摸索总结出公式和结论呢？新的《普通数学课程标准》指出：“学生的数学学习活动不应只限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，独立思考、自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学等都是学习数学的重要方式。”“教师不仅是知识的传授者，而且是学生学习的引导者、组织者和合作者。”本案例就是为了针对解决这样的困惑而展开的教学思考。二.教材分析：【教材中所处位置】：向量的坐标表示，实际是向量的代数表示，实现了向量运算完全代数化，实现了数与形的结合。中学数学教材新增向量的内容目的之一是将几何问题的证明转化为学生熟知的数量运算。而向量的坐标运算是实现上述目的的“基础设施建设”。（强调向量应用意识）【课时安排】：2.3节平面向量的基本定理及坐标表示主要四部分内容1.平面向量的坐标表示，2.平面向量的正交分解及坐标表示，3.平行向量的坐标运算，4.平面向量共线的坐标表示。考虑到学生的接受能力，本教学设计将内容2，3安排为一个课时。【教学目标】1.知识目标：①使学生理解平面向量坐标的概念，了解直角坐标系中平面向量代数化的过程（几何表示---线性表示---坐标表示），会写出直角坐标系内给定的向量坐标，会作出已知坐标表示的向量；②掌握平面向量的坐标运算，能正确表述向量的加法、减法和实数与向量积的坐标运算法则，并能运用它们进行向量的坐标运算，明确一个向量的坐标等于此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。2.能力目标：①通过体验直角坐标系中平面向量的坐标表示的实现过程，激发学生的探索精神，增强学生知识的应用意识；②通过具体问题的分析解决，渗透数形结合数学思想，提高学生从一般到特殊的归纳能力。3.德育目标：在数学中体会知识的形成过程，感受数与形的和谐统一。【教学重点】：平面向量的坐标表示及坐标运算突破办法：渗透从特殊到一般的化归，数形结合的思想.【教学难点】：对平面向量的坐标表示生成过程的理解突破办法：设置铺垫，蓄势成渠，注意过程分析.虽然教材中涉及平面向量坐标表示的笔墨不多，但其中值得体会理解的东西还是比较多，比较有“内涵”。因为之前所学的定义、概念、定理在这里得到了综合应用，共同作用得出了平面向量的坐标表示。第一课时意图体现知识的形成过程；第二课时向量坐标运算应用以及向量平行的坐标表示。三.学情分析：对于学生来说，向量是个新内容。前面学生已经掌握了向量的物理背景和概念，向量的几何表示，向量加减法及几何意义。学生对这块知识的学习是模棱两可的，知识的掌握是浮在表面上的。因此，在本课的教学之中教师引导学生获得对问题本质的认识是一个具有挑战性的教学活动．所以企图在一节课中就实现学生联系各个模块知识灵活运用是不现实的.只有在今后的学习中，不断领悟、反思、运用活动逐步深刻理解并运用它们.教学中，教师要采取适当的方法，注意启发引导，不要以自己的想法代替学生的想法，不是简单地告诉他们如何写出向量的坐标．要注意引导学生积极参与知识形成的关节点处的讨论、交流等活动,引导学生总结知识获得过程中的思想方法.不要简化知识发生过程的教学，而把中心放在练习强化上．要防止练习中知识的面太大而产生负迁移而影响理解知识的本质.四.教学问题诊断分析1．通过以往该课的教学，大多学生只是麻木地记住向量的坐标是怎样表示，根本不去理解其发生过程。记住结果，学生虽然可以利用它求一系列题目，但这样不利于学生思维深度性和活跃性的训练。2.向量的坐标表示的形成过程比较枯燥，为了提高学生学习的信心和兴趣，教师需要有一个比较有新意的引入。3．该课时在新旧教材中差异并不大，但如何体现新课程的“新”呢？我认为应该从课型上进行改变，讨论、合作探究的学习方式能激发学生学习的主动性，课堂上，在教师引导下教师与学生；学生与学生相互讨论合作探究，使教师与学生、学生与学生之间面对面在一起学习，增进彼此亲近感，消除了学生的焦虑心理，学生的主动性受到了激发，使全班学生都能获得成就感。另外，教师只起引导作用，把绝大部分讲话时间让给学生，讨论中有了更多的学生在讲话，因此，在这种探究性学习中，学生说的机会是传统数学课堂的几倍甚至十几倍。整个课堂气氛很轻松、热烈，突出了学生的主体地位，调动了学生学习的主动性。五．教学方法：启发式谈话法教具：多媒体课件授课类型：新授课六.教学过程：（ⅰ）．课题引入（采用多媒体）①自我介绍，从姓氏“陈”字引出向量话题课件展示“向量化”的方块字：笔画顺序---方向线段长度—大小②提问：是否存在相等的向量？存在，有哪些？学生：长度相等且方向相同的向量即为相等的向量教师：强调自由向量---仅由大小和方向确定，与起点位置无关.③引入直角坐标系---x轴、y轴、原点、单位长度平面内每一个点都可以用一对实数(即它的坐标)来表示，那么平面直角坐标系内的每一个向量是否也可以用一对实数来表示？如果可以，会是如何？板书课题：平面向量的坐标表示及运算设计意图：利用向量化的方块字引入，比较生活化有新意，激发学生的学习兴趣和学习情感，为新课的自然引入提供契机．另外，教师要抓住每一次在新课中复习旧知的机会。CDRFHLKGSMNPQBETIJ（ⅱ）．新课讲解I.平面向量的坐标表示④与x轴正方向相同的单位向量----i与y轴正方向相同的单位向量---j教师让学生把书本翻到95页并讲解正交分解，并通过举例物理中的重力沿互相垂直的两个方向分解，让学生明白：如果取互相垂直的向量作为基底，会为我们研究问题带来方便。??,.4,,,3PQABjFGiLKiIJFHiBECD与x轴方向平行的向量可以用实数与i的积表示与y轴方向平行的向量可以用实数与j的积表示提问：对于既不与x轴方向平行也不与y轴方向平行的向量，如：PQAB,还能用i、j表示吗？怎么表示？学生：思考，并讲出自己的想法。教师总结：不能“单独”表示，尝试“合作”表示，由此可链接哪个知识点（涉及一个向量用另两个向量线性表示）？学生：平面向量的基底表示单位向量i、j是同一平面内两个不共线的向量，故可作为基底，而且还具有不同于一般基底的特殊性--(i)单位向量1||||ji；(ii).互相垂直ji由平面向量基本定理得jiONAB22实数对21,是唯一的。42-2-4-6-8-10-55101531-1-3-4-3-2-1o1234xCDRFHLKGSMNPQABETIJ42-2-4-6-8-10-551015y31-1-3-4-3-2-1o1234xNAB设计意图：循序渐进地向学生抛出一个接一个的问题，在不知不觉中学生理解了向量坐标表示的形成过程。分解了本课的难点。⑤平面向量的坐标表示问：在这直角坐标系中，你能否找到分别表示这些向量的相应实数对？,,,22jiPQjiMNjiAB（-2，-2）（-1，-1）（1，-1）jiFGjiLKjiBE40,0,03（3，0）（-1，0）（0，-4）因此，平面直角坐标系内的每一个向量都可以按上述方法找到唯一的实数对与之对应.试让学生说说是怎样的方法.自习（教材P95页）向量坐标表示的定义特殊向量的坐标表示：)0,0(0),1,0(),0,1(ji设计意图：全面铺垫后学生自习定义，形象思维帮助抽象理解，但淡化了平面向量基本定理的应用。通过自己学习向量坐标表示的定义，训练学生自学能力，以及学习的主动性。II.相关练习例1.(1)写出向量BC的坐标，并与OA的坐标进行比较；(2)写出向量OBOC,的坐标学生：积极思考，独立完成之后请一同学说出解题过程教师板演：解：（1）由图知OABCjiOAjiBC32,32)3,2(OABC（2）jiOBjiOC23,542-2-4-6-8-10-55101531-1-3y-4-3-2-1o1234xFHLKGMNPQABE42-2-4-6-8-10-551015B(3,-2)C(5,1)A(2,3)31-1-3y-4-3-2-1o1234x)2,3(),1,5(OBOC教师提问：（1）比较BC与OA的坐标，你能得出什么结论？学生经历观察、归纳的过程后得到：相等的向量的坐标相同（2）比较向量OBOCOA,,的坐标与点A,B,C的坐标，你又能得到什么结论？“必然”还是“偶然”？“偶然”之中的“必然”又是什么？学生经历观察、归纳的过程后得到：以原点O为起点的向量OA的坐标与点A的坐标相同设计意图：该题一方面检查学生是否能够写出向量的坐标，另一方面，通过该题得到上述两个重要的结论。许多结论不应该让学生死记硬背，而应该通过具体的实例，从中观察归纳得到。III.平面向量的坐标运算①由图可知BCOBOC平面向量的运算平面向量的坐标运算如果用坐标表示是如何呢？（5，1）=（3，-2）+（2，3）教师给出：已知babayxbyxa,),,(),,(2211求学生观察后，思考，并得出jyyixxjyixjyixba)()()()(21212211jyyixxjyixjyixba)()()()(21212211),(),,(21212121yyxxbayyxxba并请学生总结向量坐标的加减运算方法：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差教师给出：已知ayxa求以及实数,),(11学生通过类比得到),()(yxjyixjyixa并总结得出：实数与向量的积的坐标表示：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标42-2-4-6-8-10-551015B(3,-2)C(5,1)A(2,3)31-1-3y-4-3-2-1o1234x设计意图：渗透特殊到一般，猜想到证明的数学思想；教师要注意板书推导过程，减法以及实数与向量的积运算可让学生自己证明.②OBOCBC(2,3)=(5,1)-(3,-1)向量OBOC,的坐标与点B,C的坐标相同教师给出：已知),(),,(2211yxByxA,根据平面向量坐标加减法运算求AB的坐标学生类比特殊得到一般结果：),(),(1122yxyxOAOBAB),(1212yyxx一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标IV.相关练习例2.的坐标求已知babababa43,,),4,3(),1,2(解:)5,1()4,3()1,2(ba，)3,5()4,3()1,2(ba)19,6()16,12()3,6()4,3(4)1,2(343ba设计意图：让学生巩固向量坐标的运算，并让学生体会通过坐标表示向量的几何运算转为小学的算术.（iii）．课堂小结：回顾反思所学内容，你有那些体会和收获？课内师生可以在课内共同回顾与反思本节课的收获，课外也可以以数学小作文的形式或利用校园网络上的论坛，BBS，博客等让学生就自己认识最深刻的某一个点或某一个具体问题谈谈自己的心得体会，或者提出自己的问题．设计意图：提出一个问题比解决一个问题更重要．通过师生的共同回顾反思，加强师生交流，拓展师生互动的空间，发挥学生的主体作用，使学生有所思，有所悟．培养学生的学习探究能力，概括总结能力．-55101542-2-4-6-8-10B(x2,y2)A(x1,y1)31-1-3-4-3-2-1o1234x-551042-2-431-1-3-4-3-2-1o1234xB(-3,4)A(2,1)（iv）.作业布置作业本2.3.2八.知识结构向量化的方块字“陈”引入向量的坐标表示的形成过程探究简单的向量坐标加减运算九．【课后反思】通过这节课的实验，使自己对数学教育的认识上有了提高，课程标准指出：学生应“通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程”，这实际上对