《简单的幂函数》教学课件-北师大版必修1

§5简单的幂函数•1．幂函数的定义•形如y＝xα(其中底数x为，指数α为)的函数叫幂函数．•2．函数的奇偶性类别定义奇函数偶函数图象定义图象关于对称的函数叫作奇函数图象关于y轴对称的函数叫作偶函数语言定义任意x∈A，任意x∈A，原点f(－x)＝－f(x)f(－x)＝f(x)自变量常量1．函数y＝3x2，y＝1x2，y＝2都是幂函数吗？【提示】y＝1x2，即y＝x－2是幂函数；而函数y＝3x2及y＝2均不符合幂函数的形式y＝xα，故均不是幂函数．2．若奇函数f(x)在x＝0处有意义，则f(0)是什么？【提示】由奇函数定义，f(－x)＝－f(x)，则f(－0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.幂函数的概念下列函数中是幂函数的是()①y＝－x2；②y＝2x；③y＝xπ；④y＝(x－1)3；⑤y＝1x2；⑥y＝x2＋1x.A．①③⑤B．①②⑤C．③⑤D．只有⑤【思路点拨】依据幂函数的定义进行判断.【答案】C幂函数y＝xα要满足三个特征：(1)幂xα前系数为1；(2)底数只能是自变量x，指数是常数；(3)项数只有一项，只有满足这三个特征，才是幂函数．【解析】根据幂函数的定义，知2.用描点法画出①y＝x；②y＝x2；③y＝x3；④；⑤y＝x－1的图象并指出其特点.【解析】(1)图象如下图所示：12yx(2)观察上面的函数图象会发现以下特征：①图象都过点(1,1)．②在第一象限内函数y＝x，y＝x2，y＝x3，的图象自左向右看都是上升的，也就是在[0，＋∞)上都是增函数，且这几种函数的图象都过原点．③函数y＝x－1的图象在第一象限内自左向右看是下降的，即y＝x－1在(0，＋∞)上是减函数．④y＝x，y＝x3，y＝x－1的图象关于原点对称，它们是奇函数；而y＝x2的图象关于y轴对称，它是偶函数；图象只在第一象限内(含原点)，它是非奇非偶函数．12yx12yx函数奇偶性的判断判断下列函数是否具有奇偶性．(1)f(x)＝x－1x(2)f(x)＝x2－1，x∈[－3,3](3)f(x)＝2x2＋6xx＋3(4)f(x)＝4－x2＋x2－4【思路点拨】解答此类题目应先判断函数定义域是否关于原点对称，然后再验证f(x)与f(－x)之间的关系来确定奇偶性．【解析】(1)函数定义域为{x|x≠0}f(－x)＝(－x)－＝－(x－)＝－f(x)∴f(－x)＝－f(x)∴函数f(x)＝x－是奇函数．(2)函数f(x)的定义域为[－3,3]关于原点对称，f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)∴函数f(x)＝x2－1，x∈[－3,3]是偶函数．(3)函数f(x)的定义域为{x|x≠－3}；定义域不关于原点对称，∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(4)函数f(x)的定义域为{x|x＝±2}，此时函数f(x)＝0f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)∴函数f(x)＝＋既是奇函数又是偶函数．判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性．(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．3.判断下列函数是奇函数还是偶函数．(1)f(x)＝x＋；(2)f(x)＝＋2；(3)f(x)＝|x＋2|－|x－2|.1x21x4.(1)如图(1)，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值；(2)如图(2)，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，比较f(1)与f(3)的大小，并试作出它的y轴右侧的图象．【解析】(1)奇函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，－f(x))关于原点的对称点P′(x，f(x))．图为补充后的图象．易知f(3)＝－2.(2)偶函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，f(x))关于y轴的对称点P′(x，f(x))，图为补充后的图象．易知f(1)＞f(3)．1．对幂函数概念的理解(1)幂的底数是自变量，幂的指数是一个常数，可以取任意实数．(2)幂前面的系数必须为1，且为单项式，否则不是幂函数．如：y＝(2x)α，y＝2·xα，y＝xα＋2等都不是幂函数．2．幂函数的性质(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都通过点(1,1)，幂函数图象不过第四象限．(2)α0时，①幂函数的图象都通过点(0,0)(1,1)；②并且在[0，＋∞)上都是增函数．(3)α0时，①幂函数的图象都通过点(1,1)；②在[0，＋∞)上都是减函数；③在第一象限内，函数图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近．3．准确理解函数奇偶性定义(1)①偶函数(奇函数)的定义中“对D内任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)(f(－x)＝－f(x))”，这表明f(－x)与f(x)都有意义，即x、－x同时属于定义域．因此偶(奇)函数的定义域是关于坐标原点对称的．也就是说，定义域关于坐标原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．②存在既是奇函数又是偶函数的函数，即f(x)＝0，x∈D，这里定义域D是关于坐标原点对称的非空数集．(2)函数按奇偶性可以分为四类：奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，既不是奇函数又不是偶函数．下面四个结论：(1)偶函数的图象一定和y轴相交；(2)奇函数的图象一定通过原点；(3)偶函数的图象一定关于y轴对称；(4)既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)．其中正确的命题是________．【错解】(2)(3)【错因】一个函数为偶数，它不一定在x＝0处有定义，所以(1)不对，只有在x＝0处有定义的奇函数，它的图象才一定通过原点，所以(2)不对；函数f(x)＝0，x∈[－1,1]，函数f(x)＝0，x∈[－2,2]都既是奇函数又是偶函数，所以(4)也不对．【正解】(3)1．下列函数中是幂函数的是()A．y＝3x2B．y＝2xC．y＝x－1＋1D．y＝x3.14【答案】D2．函数f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)的奇偶性是()A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数，又是偶函数【答案】Cx14f(x)123．已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如表：则f(8)＝________.【答案】24．判断下列函数是否具有奇偶性：(1)f(x)＝x＋1；(2)f(x)＝x2＋3x，x∈[－4,4)；(3)f(x)＝x2＋1，x∈[－6，－2]∪[2,6]．【解析】(1)函数f(x)＝x＋1的定义域为实数集R，当x∈R时，－x∈R.因为f(－x)＝－x＋1＝－(x－1)，－f(x)＝－(x＋1)，即f(－x)≠－f(x)，f(－x)≠f(x)．所以函数f(x)＝x＋1既不是奇函数又不是偶函数．(2)因为函数的定义域关于坐标原点不对称，即存在－4∈[－4,4)，而4∉[－4,4)．所以函数f(x)＝x3＋3x，x∈[－4,4)既不是奇函数又不是偶函数．(3)函数f(x)＝x2＋1的定义域为[－6，－2]∪[2,6]，当x∈[－6，－2]时，－x∈[2,6]．因为f(－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1＝f(x)，所以函数f(x)＝x2＋1，x∈[－6，－2]∪[2,6]是偶函数．