D极限存在准则及两个重要极限

一、极限存在准则azynnnnlimlim)2(1.准则1（数列极限存在的夹逼准则）),2,1()1(nzxynnnaxnnlim证:由条件(2),,0,1N当时,当2Nn时,令,,max21NNN则当Nn时,有由条件(1)nnnzxyaa即,axn故.limaxnn,2N例1.证明证:利用夹逼准则.π1π21π1222nnnnnπ22nn且πlim22nnn2π11limnn1nnlimπ1π21π1222nnnn1由目录上页下页返回结束2.函数极限存在的夹逼准则准则1’.,),(0时当xUxAxhxgxxxx)(lim)(lim00,)()(xhxg)(xfAxfxx)(lim0)0(Xx)(x)(x)(x且目录上页下页返回结束例2.求.)321(lim1xxxx解:令xxxxf1)321()(xxx11)()(33231则)(xf3x133利用夹逼准则可知.3)(limxfx3.准则2(单调有界数列必有极限))(limMaxnn)(limmbxnn(证明略)bMx1x5x4x3x2xna目录上页下页返回结束1212.,,......,....limnnnnxaxaaxaxx例已知。求:(1)解用数学归纳法证明单调性12;xx显然，1kknkxx假设时成立，2211,kkkkxaxxax2211111kkkkkkkkkkxxxxxxxxxx111kkkkkkxxxxxx与同号，nx故单调增加(2)证明有界性21,nnxax111nnnnxaxxx1alimnnx存在1nxa目录上页下页返回结束(3)求极限2211limlimnnnnnnxaxxaxlim,nnxx设114lim2nnax2xax114(2ax舍去负根）1limnnxx目录上页下页返回结束二、两个重要极限注sinxxx1.010.838450.50.958850.010.999980.0050.999990.0011.0000001100未定式：目录上页下页返回结束1sincosxxx圆扇形AOB的面积证:当即xsin21xtan21亦即)0(tansin2πxxxx),0(2πx时，)0(2πx显然有△AOB的面积＜＜△AOD的面积故有注OBAx1DC目录上页下页返回结束*sinlim(1())xxx则000sinlim;2sin3lim;sin3lim.2xxxxxxxxx如何计算：公式的推广：如果*0lim()xx请公式的特点！12332注意例3.求解:xxxtanlim0xxxxcos1sinlim0xxxsinlim0xxcos1lim01例4.求解:令,arcsinxt则,sintx因此原式tttsinlim0ttsin1注意：变量代换也是一种很有用的方法20sinlimx2x2x21nnnRππ2cossinlimRπn例5.求解:原式=2220sin2limxxx2121例6.已知圆内接正n边形面积为证明:证:nnAlimnππnnnRnAππ2cossin说明:计算中注意利用目录上页下页返回结束例7.求解:1limsinxxx1sinlim1xxx1例8.求解:原式0tan1limtan1xxxxx0目录上页下页返回结束例.求解：因为所以，目录上页下页返回结束解nnxxx2cos........4cos2coslim0x例当时，求1limcoscos........cos242coscos........coscossin24222limsin2nnnnnnnxxxxxxxxx11coscos........cossin2422lim2sin2nnnnxxxxx目录上页下页返回结束22coscos........sin242lim2sin2nnnxxxxsinlim2sin2nnnxxsinxxsin2limsin2nnnxxxxsin2limsin2nnnxxxx目录上页下页返回结束2.1lim(1)?nnn10102.718281(1)nnn102.593741002.7048110002.71692100002.718155102.71827e未定式：1证:利用二项式公式,有nnnx)1(11nn1!121!2)1(nnn31!3)2)(1(nnnnnnnnnnn1!)1()1(目录上页下页返回结束11nx)1(1!1nn)1(2n)1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n111nx)1(11!21n)1)(1(1211!31nn)1()1)(1(11211!)1(1nnnnn大大正),2,1(1nxxnn11)1(1nnnx又比较可知目录上页下页返回结束根据准则2可知数列nx1lim(1)ennn即有极限.11)1(1nnnx11又31213n内容小结注:这个极限值被瑞士欧拉（Euler)首先用字母e表示，它是一个无理数,其值用e=2.7182818284……)来表示.2’.证:当0x时,设,1nxn则xx)1(111)1(nnnn)1(11nnn)1(lim11limn111)1(nn111ne11)1(limnnn]1)1[(lim11）（nnnnee)1(lim1xxx当,)1(tx则从而有)1(11)1(limttt)1(1)(limtttt11)1(limttt)]1()1[(lim11tttte故e)1(lim1xxx说明:此极限也可写为:10lim(1)e（)（)（)xxx时,令10lim(1)exxx更一般地有:例9.求解:令,xt则ttt)1(lim11limt说明：若利用,e)1(lim)()(1)(xxx则原式111lim(1)exxx未定式：1例10.求解:原式=2])cos[(sinlim211xxxx2)sin1(lim2xxx)sin1(2xex2sin1未定式：1目录上页下页返回结束例11求极限xxxx193limxxxx193limxxxxx111319limxxxxx313311lim9990e解0()未定式：目录上页下页返回结束例11(复利息问题)设银行将数量为A0的款贷出,每期利率为r.若一期结算一次,则t期后连本带利可收回0(1)ttAAr若每期结算m次,则t期后连本带利可收回0011mttmtrrAAAmm现实生活中一些事物的生长(r0)和衰减(r0)就遵从这种规律,而且是立即产生立即结算。例如细胞的繁殖、树木生长、物体冷却、放射性元素的衰减等。1,t本利和：2,t本利和：3,t本利和：0001AArAr2000111ArArrAr223000111......ArArrAr目录上页下页返回结束若按连续复利(将利息记入本金,时刻结算本利和的方法)计算：00lim(1)mtrtmrAAem实质上就是每期的结算次数时的本利和m目录上页下页返回结束rtteAA0ttrAA)1(0mttmrAA)1(0rtteAA0贴现问题与此相反，若已知未来值At求现在值A0，则称贴现问题。这时利率r称为贴现率。连续的贴现公式为：若称A0为现在值，At为未来值，已知现在值求未来值是复利问题:由复利公式，容易推得离散的贴现公式为:目录上页下页返回结束例12设年利率为6.5％，按连续复利计算，现投资多少元，16年之末可得1200元？rtteAA0解：贴现率r=6.5％，未来值At=1200，t=16。现在值：（元）15.4248292.21200120004.1e16065.01200e目录上页下页返回结束,0时xxxxsin,,32都是无穷小,引例.xxx3lim20,020sinlimxxx,xxx3sinlim0,31但可见无穷小量趋于0的速度是多样的.三、无穷小的比较目录上页下页返回结束,0limCk定义.例如,当,0lim若则称是比高阶的无穷小,)(o,lim若若若,1lim若~~,0limC或,设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称是比低阶的无穷小;则称是的同阶无穷小;则称是关于的k阶无穷小;则称是的等价无穷小,记作目录上页下页返回结束例1.证明:当时,～证:～nnba)(ba1(naban2)1nb目录上页下页返回结束例2.证明:证:目录上页下页返回结束因此即有等价关系:说明:上述证明过程也给出了等价关系:目录上页下页返回结束～～定理1.)(o证:1lim,0)1lim(0lim即,)(o即)(o例如,,0时x～,tanxx～故,0时x)(tanxoxx目录上页下页返回结束定理2.设且存在,则lim证:limlimlimlimlimlim例如,xxx5sin2tanlim0xxx52lim052等价无穷小替换定理：目录上页下页返回结束注:此定理表明,求两个无穷小量积或商的极限时,如果分子（或分子的乘积因子）或分母（或分母的乘积因子）的等价无穷小量存在,则就可用它们各自的等价无穷小量来代换原来的分子或分母（或分子或分母的乘积因子）,使计算简化。目录上页下页返回结束例如,.sintanlim30xxxx30limxxxx原式32210limxxxx例3.求01sinlim1sinarcsinlim00xxxxxx解:原式目录上页下页返回结束例4.求.1cos1)1(lim3120xxx解:目录上页下页返回结束tan2limsin3xxx求2tan2limsin2im3l33xxxxxx,0xtxt解：令，则时0tan2tan2()limlimsin3sin3()xtxtxt0tan2limsin3ttt02lim3ttt23例5.目录上页下页返回结束tan20(1cos)lim;(1)sinxxxxex求tan01~xxe解时，tan20(1cos)lim(1)sinxxxxex例6.tan~x,x2sin~x2x2202limxxxxx12目录上页下页返回结束例7若，求a.011lim1xxaexx解：011limxxaexx01lim11xxaxex01lim1xxxeaxex