整数的速算和巧算

1整数的速算和巧算在加法、减法和加减混合运算中，常常利用改变运算顺序进行巧算，其中有利用两数互补关系进行凑整巧算、借数凑数巧算、选择合适的数作为基数巧算等，还可以利用加法的交换律和结合律进行巧算。整数乘除法的速算与巧算，一条最基本的原则就是“凑整”。要达到“凑整”的目的，就要对一些数分解、变形，再运用乘法的交换律、结合律、分配律以及四则运算中的一些规则，把某些数组合到一起，使复杂的计算过程简单化。1.同学们要记住一些速算结果，如2×5=10，25×4=100，125×8=1000，625×8=5000，625×16=10000等，这样，在计算时才能迅速而准确。2.灵活地运用“头同尾合十”和“尾同头合十”的巧算法求积。“头同尾合十”的巧算方法是：用十位上的数字乘十位上的数字加1的积，再乘100，最后加上个位上两个数字的乘积。如23×27=2×(2+l)×100+3×7=621.“尾同头合十”的巧算方法是：十位数字的乘积加上个位数字的和，再乘100，最后加上个位上的数字的积。2如：如72×32=(7×3+2)×100+2×2=2304。4.另外有一些常用方法。(1)乘数凑整法乘数凑整法是利用特殊数的乘积特性进行速算，如：5×2=10，25×4=100，125×8=1000，…运算时可将包含这几个因子的乘数分解然后提出这几个因子，实现速算。例如：32×625=4×8×125×5。(2)乘法分配律、结合律该方法利用求几个乘积之和时拥有共同乘数的特点，直接利用乘法结合律，先求和再求积。例如：87×28+28×73-28×10=28×(87+73-10)。如果没有出现乘数相同的情况，可以想办法进行拆分得到相同乘数，可以分成两数之和或是之积。(3)特殊方法针对特定的题还可以采用特定的方法，如“头同尾补”或是“尾同头补”等方法。1、9999×1111+3333×666732、99999×77778+33333×666663、4444×9＋1111×644、889×666＋333×2225、9999×26＋3333×226、28×1111＋9999×87、9999×9999＋199998、980000÷25÷25÷4÷49、(70÷4+90÷4)÷410、765×213÷27＋765×327÷2711、(873×477-198)÷(476×874＋199)12、(7777＋8888)÷5－(888－111)×313、5÷(7÷11)÷(11÷16)÷(16÷35)14、15＋115＋1115＋11115＋……[phone]、1.25×31.3×2416、7.3×3.7－7×0.7317、0.15÷2.1×5618、9.9×9.9＋1.9919、2.437×36.54＋243.7×0.6346420、2.005×390＋20.05×41＋200.5×221、5×19.99＋16×1.999＋0.34×199.922、1250×0.037+0.125×160+12.5×2.723、7.5×46.7＋17.9×2.524、0.9999×0.6＋0.1111×3.625、1.076×3.4+10.76×0.6626、39999＋3999＋399＋39＋927、0.125×0.25×0.5×6428、3.75×4.8＋62.5×0.4829、3.7×5.4＋0.37×4630、18.6÷2.5÷0.431、700÷14÷532、1.25×(8÷0.5)33、(125×99＋125)×1634、3×999＋3＋99×8＋8＋2×9＋2＋935、1250÷25÷536、4.75÷0.5－4.7537、999.9＋99.9＋9.9＋0.9538、9.8+99.8+999.8+9999.8+99999.839、899998+89998+8998+898+8840、799999+79999+7999+799+7941、799998+79997+7996+797+7842、1.1+3.3+5.5+7.7+9.9+11.11+13.13+15.15+17.17+19.1943、99992＋1999944、999×274＋627445、8.8×6+3.4×846、1432×9090+1432×90947、11+88+66+33+77+5548、9.996＋29.98＋169.9＋3999.549、51×49+3.51×49+51×3.5150、677＋3×6770＋677×6951、187÷12－63÷12－53÷1252、1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋853、1＋2＋3＋……＋98＋99＋10054、7.5×46.7＋17.9×2.555、7.81－(3.81－1.65)＋2.25656、(1234＋2341＋3412＋4123)÷(1＋2＋3＋4)57、1234+2341+3412+412358、2006＋200.6＋20.06＋2.006＋994＋99.4＋9.94＋0.99459、25×32÷14＋36÷21×2560、1＋2×3÷(4＋5)×661、3×2÷2－2×6÷3÷2＋5－362、31÷5＋32÷5＋33÷5＋34÷563、100－99＋98－97＋96－95＋……＋4－3＋2－164、10.37×3.4＋1.7×19.2665、567×789789-789×56756766、7.2×14.3÷0.9÷1.367、20.06×65+380×2.006-2.006×3068、6.4÷(0.8+0.4)69、265—158—42+3570、3600-175-67-325-13371、27×46÷79÷46×79÷2772、1966+1976+1986+1996+2006一、十几乘十几的巧算7口诀：头乘头，尾加尾，尾乘尾。最后再排列，遇到满十的向前位进一就是了。例如：12×13=156方法：头乘头1×1=1；尾相加2+3=5；尾相乘2×3=6。最后再排列起来就是156。15×17=255方法：头乘头1×1=1；尾相加5+7=12；尾相乘5×7=35，最后排列时，高位积本是1，要加进上来的中位积12中的1，就是2了；中位积本是2，加尾积进上来的3就是5了；末尾积就是5。就是255。说明：这种巧算只限于十几乘十几的乘法，不能什么乘法都用此方法。好处：上了初中不用背平方表了，掌握好了可以大大的提高小学生的运算速度。二、11乘任意数：口诀：首尾不动下落，中间之和下拉。例：11×23125=？解：2+3=53+1=41+2=32+5=72和5分别在首尾11×23125=254375注：和满十要进一。说明：这种方法掌握好了，可以大大的8提高运算速度，同样像乘22，33，88等一系列的乘法都可以运用此法，因为22可以分解为11×2、33可以分解为11×3……三、首数相同，尾数之和为十的两位数乘两位数的巧算口诀：一个头加１后，头乘头，尾乘尾。例：23×27=？解：２＋１＝３２×３＝６３×７＝2123×27=621（两数之积是一位数的，前面用0补足）例如：26×24=624方法：首数2+1=3，3×2=6；6×4=24；排列起来就是624。85×85=7225方法：首数8+1=9，9×8=72；5×5=25；排列起来就是7225。说明：这种方法只限于首数相同，尾数互补（相加为10）的两位数乘两位数。当然也能灵活的运用的，如42×47可以把它看作42×48=2016，再减去一个42就得1974。只要首数相同都可以灵活运用此方法。四、尾相同，首互补的两位数乘两位数的巧算口诀：头乘头加尾数为前面两个积，尾乘尾为后面两个积，然后再把两积相连。（两位之积是一位数的，前位0）例如：34×74=2516方法：3×7+4=25这前积；4×4=16为后积，相连9就是2516。57×57=3249方法：5×5+7=32是前积；7×7=49是后积，相连就是3249。说明：此种方法限于尾相同的两位数相乘都可灵活运用。如：46×56=2576可以看成46×66=3036，再减去10个46即是460，就是3036-460=2576。五、.第一个乘数互补，另一个乘数数字相同：口诀：一个头加１后，头乘头，尾乘尾。例：37×44=？解：3+1=44×4=167×4=2837×44=1628注：个位相乘，不够两位数要用0占位。六、几十一乘几十一：口诀：头乘头，头加头，尾乘尾。例：21×41=？解：2×4=82+4=61×1=121×41=861七、首位都是5的两个两位数相乘的巧算10口诀：头乘头加两尾数之和的一半为前积，尾乘尾为后积，然后同上排列起来。例如：52×56=2912方法：5×5+[（2+6）÷2]=29；2×6=12；排列起来就是2912。八、尾数都是5的两个两位数乘法的巧算口诀：头乘头加两首数之和的一半为前积，尾乘尾为后积。例如：25×65=1625方法：2×6+[（2+6）÷2]=16为前两位积；5×5=25为后两位积。九、任意两位数的平方用下面的口诀巧算口诀：头乘头为前积，头乘尾加一倍为中积，尾乘尾为后积，满十向前一位进一。例如：25×25=625方法：2×2=4，加上中积乘得是20，向前进2就是6了；中积2×5=10再加一倍为20，就该是0，可再加上尾积5×5=25向前进的2就写2了；尾积就写5了。所以是625。说明：这种方法与前面的十几乘十几差不多，不同的是：中积是首乘尾还要加一倍。这种方法掌握了也能灵活的算如22×23、45×46等。十、两位乘两位数的通用巧算法口诀：头乘头为前积；头尾交互相乘之和为中积；尾乘尾为后积。例如：36×52=1872方法：3×5=15本为首积，6×5+3×2=36中积就应该是6，3进到首积15上，首积就写18；尾积6×2=12，向中积进1，中积就写7；尾积就是2了。11十一、十几乘任意数：口诀：第二乘数首位不动向下落，第一因数的个位乘以第二因数后面每一个数字，加下一位数，再向下落。例：13×326=？解：13个位是33×3+2=113×2+6=123×6=1813×326=4238注：和满十要进一。说明：这种方法适用于任何两位数相乘。这八种巧算方法你灵活地掌握了，以后你遇到任何的两位数相乘都可以直接“一口清”。甚至可以推广到除法和多位数乘法中去，那你就是速算“小神童”了。分析与解在进行四则运算时，应该注意运用加法、乘法的运算定律，减法、除法的运算性质，以便使某些运算简便。本题就是运用乘法分配律及减法性质使运算简便的。例2计算9999×2222+3333×3334分析与解利用乘法的结合律和分配律可以使运算简便。9999×2222+3333×3334=3333×（3×2222）+3333×3334=3333×6666+3333×333412＝3333×（6666+3334）=3333×10000=33330000例12计算1×2+2×3+3×4＋……＋10×11分析与解，将这10个等式左、右两边分别相加，可以得到例13计算1×3+2×4+3×5+4×6+……+50×52分析与解我们知道1×3=1×3-1+1=1×（3-1）+1=1×2+12×4=2×4-2+2=2×（4-1）+2==2×3+23×5=3×5-3+3=3×（5-1）+3=3×4+34×6=4×6-4+4=4×（6-1）+4=4×5+4……50×52=50×52-50+50=50×（52-1）+50=50×51+50将上面各式左、右两边分别相加，可以得到1×3+2×4+3×5+4×6+……+50×52=1×2+1+2×3+2+3×4+3+4×5+4+……+50×51+50=1×2+2×3+3×4+4×5+……+50×51+1+2+3+4+……+50=44200+127513=45475例14计算（1+0.23+0.34）×（0.23+0.34+0.56）-（1+0.23+0.34+0.56）×（0.23+0.34）分析与解根据题中给出的数据，设1＋0.23+0.34=a，0.23+0.34=b，那么a-b=1+0.23+0.34-0.23-0.34=1。于是原式变为a×（b