定积分在物理学上的应用

《高等数学》下页结束返回第三节一、变力沿直线所作的功二、液体的侧压力三、引力问题*四、转动惯量(补充)定积分在物理学上的应用第六章下页《高等数学》下页结束返回一、变力沿直线所作的功设物体在连续变力F(x)作用下沿x轴从xa移动到力的方向与运动方向平行,求变力所做的功.xabxxxd在其上所作的功元素为xxFWd)(d因此变力F(x)在区间上所作的功为baxxFWd)(下页《高等数学》下页结束返回例1.一个单求电场力所作的功.qOrabrrrd11解:当单位正电荷距离原点r时,由库仑定律电场力为则功的元素为rrqkWdd2所求功为rqk1ab)11(baqk说明:aqk位正电荷沿直线从距离点电荷a处移动到b处(ab),在一个带+q电荷所产生的电场作用下,下页库仑定律《高等数学》下页结束返回S例2.体,求移动过程中气体压力所Ox解:由于气体的膨胀,把容器中的一个面积为S的活塞从点a处移动到点b处(如图),作的功.ab建立坐标系如图.xxxd由波义耳—马略特定律知压强p与体积V成反比,即功元素为故作用在活塞上的所求功为力为在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气下页《高等数学》下页结束返回m3m5例3.试问要把桶中的水全部吸出需作多少功?解:建立坐标系如图.Oxxxxd在任一小区间]d,[xxx上的一薄层水的重力为gxd3π2这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为Wd9πdgxx故所求功为50Wxxgdπ9gπ922xgπ5.112(KJ)设水的密度为05(KN)一蓄满水的圆柱形水桶高为5m,底圆半径为3m,下页《高等数学》下页结束返回面积为A的平板二、液体的侧压力设液体密度为深为h处的压强:hgph当平板与水面平行时,ApP当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用积分解决.平板一侧所受的压力为••下页《高等数学》下页结束返回小窄条上各点的压强xgp332Rg例4.的液体,求桶的一个端面所受的侧压力.解:建立坐标系如图.所论半圆的)0(Rx利用对称性,侧压力元素0RFxxRxgd222OxyRxxxd222xRdFxg端面所受侧压力为xd方程为一水平横放的半径为R的圆桶,内盛半桶密度为下页《高等数学》下页结束返回0arcsin224222RRxRxRxgR,d222xxR说明:当桶内充满液体时,,()gRx小窄条上的压强为侧压力元素dF故端面所受侧压力为奇函数3Rg)(xRgRxxRgR022d4OxyRxxxd下页《高等数学》下页结束返回三、引力问题质量分别为的质点,相距r,1m2mr二者间的引力为大小:方向:沿两质点的连线若考虑物体对质点的引力,则需用积分解决.下页《高等数学》下页结束返回例5.设有一长度为l,线密度为的均匀细直棒,其中垂线上距a单位处有一质量为m的质点M,M该棒对质点的引力.解:建立坐标系如图.y2l2l]d,[xxx细棒上小段对质点的引力大小为dkFxmd22xa故铅直分力元素为cosddFFya22dxaxmk22xaa23)(d22xaxamkxOx在试计算FdxFdyFdxxd下页《高等数学》下页结束返回(利用对称性)223022)(d2lxaxamkFy02222lxaaxamk22412laalmk棒对质点引力的水平分力0.xF22412llmkFaa故棒对质点的引力大小为棒对质点的引力的铅直分力为My2l2laaxOxFdxFdyFdxxd下页3222dd()yxFkmaaxP363(20)《高等数学》下页结束返回2lOy2laxxxdx说明:2,kma2)若考虑质点克服引力沿y轴从a处1)当细棒很长时,可视l为无穷大,此时引力大小为方向与细棒垂直且指向细棒.移到b(ab)处时克服引力作的功,bybalyyylmkW224d222412llmkyy则有22412llmkFaa下页《高等数学》下页结束返回lOxyacosdFyFd23)(d22xaxamkxFd23)(d22xaxxmklyxaxamkF02223)(dlxxaxxmkF02223)(d引力大小为22yxFFF22ddxaxmkFxxxdxFdyFdsindF注意正负号3)当质点位于棒的左端点垂线上时,下页《高等数学》下页结束返回质量为m的质点关于轴l的转动惯量为l2rmI的质点系),,2,1(,nimrlii质量为的距离为与轴21iniirmI若考虑物体的转动惯量,则需用积分解决.r关于轴l的转动惯量为m下页*四、转动惯量(补充)《高等数学》下页结束返回lR例6.(1)求圆盘对通过中心与其垂直的轴的转动惯量;(2)求圆盘对直径所在轴的转动惯量.解:(1)建立坐标系如图.设圆盘面密度为.的对应于]d,[xxx小圆环质量xxdπ2对应于]d,[xxx的小圆环对轴l的转动惯量为xxIdπ2d3故圆盘对轴l的转动惯量为421πR221RMxxxxd2πRM设有一个半径为R,质量为M的均匀圆盘,O下页《高等数学》下页结束返回OxRyxxxd平行y轴的细条的对应于]d,[xxx关于y轴的转动惯量元素为yId细条质量y2xdxxyd22xxRxd2222故圆盘对y轴的转动惯量为yIxxRxRRd2222xxRxRd42202)sin(tRx令tttRdcossin422402π4π41R)(2πRM241RM(2)取旋转轴为y轴,建立坐标系如图.下页《高等数学》下页结束返回内容小结(1)先用元素法求出它的微分表达式dQ一般元素的几何形状有:扇,片,壳等.(2)然后用定积分来表示整体量Q,并计算之.1.用定积分求一个分布在某区间上的整体量Q的步骤:2.定积分的物理应用:变力作功;侧压力;引力;转动惯量等.条,段,环,带,下页作业:P2912;3;5;9;12《高等数学》下页结束返回(1999考研)思考与练习提示:作x轴如图.Ox30xxd1.为清除井底污泥,用缆绳将抓斗放入井底,泥后提出井口,缆绳每在提升过程中污泥以20N/s的速度从抓斗缝隙中漏掉,现将抓起污泥的抓斗提升到井口,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,问克服重力需作多少焦耳(J)功?已知井深30m,抓斗自重400N,将抓起污泥的抓斗由抓起污x提升dx所作的功可分为三部分:米重50N,下页《高等数学》下页结束返回提升抓斗中的污泥:井深30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,污泥以20N/s的速度从抓斗缝隙中漏掉xWd400d1克服缆绳重:xxWd)30(50d2抓斗升至x处所需时间:)s(3x(J)91500xxWxd)]202000()30(50400[3300xWxd)202000(d33321dddd克服抓斗自重:Ox30xxd下页《高等数学》下页结束返回xyABO2.设星形线taytax33sin,cos上每一点处线密度的大小等于该点到原点距离的立方,提示:如图.2222d)(d23yxsyxkFsyxkd)(2122cosddFFxsyxxyxkd)(222221sxkdsinddFFysykd),(yxsd在点O处有一单位质点,求星形线在第一象限的弧段对这质点的引力.下页《高等数学》下页结束返回同理takFx203costttattad]cossin3[)]sin(cos3[2222tttkadsincos32042253ak253akFy故星形线在第一象限的弧段对该质点的2253akFxFd,dsxkyFdsykd;sin,cos33taytax引力大小为xyABO),(yxsd结束《高等数学》下页结束返回锐角取多大时,薄板所受的压力P最大.备用题斜边为定长的直角三角形薄板,垂直放置于解:选取坐标系如图.设斜边长为l,水中,并使一直角边与水面相齐,coscotlxyxxygdsin02d)coscot(lxxlxgly则其方程为问斜边与水面交成的sin0lP下页《高等数学》下页结束返回,0ddP令33arccos0故得唯一驻点故此唯一驻点0即为所求.由实际意义可知最大值存在,即ly结束