复合函数求导

为常数）(x)x)(2(1'1)a0,lna(aa)a)(3(x'x且1)a,0a(xlna1)xlog)(4('a且sinx(8)(cosx)'e)e)(5(x'xx1(6)(lnx)'cosx)sinx)(7('基本求导公式:知识回顾：)(0,))(1(为常数特殊的：CCkbkx根据导数的概念，求函数导数的过程可以用下面的流程图来表示）（给定函数xfyxxfxxfxy）（）（计算0x)(xAxy)()(xAxf法则1:两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差），即：).()(])()([xgxfxgxf法则2:)).((])([为常数CxfCxCf法则3:两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数).()()()(])()([xgxfxgxfxgxf法则4:两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方,即：)()()()()(])()([2xgxgxfxgxfxgxf0)(xg其中求下列函数的导数:222212(1);(2);1(3)tan;(4)(23)1;yxxxyxyxyxx答案:;41)1(32xxy;)1(1)2(222xxy;cos1)3(2xy;16)4(23xxxy简单复合函数的导数复合函数:)(ufy)(xu由几个函数复合而成的函数，叫复合函数．由函数与复合而成的函数一般形式是，其中u称为中间变量．)]([xfy目前我们所研究的简单复合函数的导数仅限于形如f（ax+b）的复合函数求函数的导数。2(32)yx方法一：22[(32)](9124)1812xyxxxx问题探究：2(32)yx2()2uyuu(32)3xuxxuxuyy'''方法二：2yu32ux看作是函数和函数复合函数，并分别求对应变量的导数如下：两个导数相乘，得从而有12183)23(232xxuuyxu将函数；问题探究：考察函数的导数。xy2sinxxxycossin22sin:一方面xxxxxxxxxx2cos2sin2cos2)(cossin2cos)(sin2)cossin2()2(sin22xyxuxuyy'''另一方面：复合函数，并分别求对应变量的导数如下：两个导数相乘，得从而有x2cos2xy2sinuysin看作是函数和函数xu2uuyucos)(sin2)2(xux将函数2)(cosuuyxu分解求导相乘回代建构数学•对于一般的复合函数，结论也成立。•复合函数的求导法则•复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即一般地，我们有u=ax+b时，有ayyux''即：若y=f(u),u=ax+b，则xuxuyy'''xuxuyy'''复合函数求导的基本步骤是：(1)分解(2)求导(3)相乘(4)回代数学运用试说明下列函数是怎样复合而成的)21cos()4(;131)3()15ln()2(;)32()1(3xyxyxyxy数学运用求下列函数的导数：)21cos()4(;131)3()15ln()2(;)32()1(3xyxyxyxyuycos21xuuylnxuln)1cos(2xy)ln(lnxy例写出由下列函数复合而成的函数,并求它们的导数。⑴，；⑵，．解：⑴⑵)1sin(22xxy1)ln(xxy•1、求下列函数的导数：xyeyxyxyx1ln)4(;)3(;)31()2(;)32()1(2322、求曲线y=sin2x在点P(π，0）处的切线方程。小结：•⑴复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；•⑵复合函数求导的基本步骤是：•分解——求导——相乘——回代练习：课本P24练习No.3；课本P22No.6.求下列函数的导数:解:)()(xxxxxxy12124333(2)51xxy解:)()(xxxxy115154)()(1161242233xxxxx43121)()(xxxy5654151)(xx25411151)()(xxx“可导的偶函数的导函数为奇函数;可导的奇函数的导函数为偶函数”.现在利用复合函数的导数加以证明:证:当f(x)为可导的偶函数时,则f(-x)=f(x).两边同时对x求导得:,故为奇函数.)()()())((xfxfxfxxf)(xf同理可证另一个命题.我们还可以证明类似的一个结论:可导的周期函数的导函数也是周期函数.证:设f(x)为可导的周期函数,T为其一个周期,则对定义域内的每一个x,都有f(x+T)=f(x).两边同时对x求导得:即也是以T为周期的周期函数.),())((xfTxTxf).x(f)Tx(f)x(f例5:设f(x)可导,求下列函数的导数:(1)f(x2);(2)f();(3)f(sin2x)+f(cos2x)21x解:);(2)()()1(222xfxxxfy);1(1122)1()2(2222xfxxxxxfy)].(cos)(sin[2sin)sin(cos2)(coscossin2)(sin))(cos(cos))(sin(sin])(cos)(sin[)3(2222222222xfxfxxxxfxxxfxxfxxfxfxfy说明:对于抽象函数的求导,一方面要从其形式是把握其结构特征,另一方面要充分运用复合关系的求导法则.求证双曲线C1:x2-y2=5与椭圆C2:4x2+9y2=72在交点处的切线互相垂直.证:由于曲线的图形关于坐标轴对称,故只需证明其中一个交点处的切线互相垂直即可.联立两曲线方程解得第一象限的交点为P(3,2),不妨证明过P点的两条切线互相垂直.由于点P在第一象限,故由x2-y2=5得,5,522xxyxy;23|31xyk同理由4x2+9y2=72得;94894,94822xxyxy.32|32xyk因为k1k2=-1,所以两条切线互相垂直.从而命题成立.