椭圆的定义与标准方程(公开课)课件

椭圆及其标准方程上课者；钟齐富“嫦娥二号”于2010年10月1日18时59分57秒在西昌卫星发射中心发射升空生活中的椭圆♦自然界处处存在着椭圆,我们如何用自己的双手画出椭圆呢?尝试引导：1第一把实验细线的两端固定在一个点上，套上笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的是什么轨迹。2第二个试验把细线的两端固定在两点，套上笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的是什么轨迹。1.改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？2．绳长能小于两图钉之间的距离吗？1.改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？2．绳长能小于两图钉之间的距离吗？♦如何定义椭圆?圆的定义:平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫圆.椭圆的定义:平面上到两个定点F1,F2的距离之和为固定值(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆.定点F1、F2称为椭圆的焦点。F1、F2间的距离|F1F2|称为焦距。♦提出了问题就要试着解决问题.怎么推导椭圆的标准方程呢？坐标法求曲线的方程(轨迹方程),一般有下面几个步骤:1.建立适当的坐标系,设曲线上任一点M的坐标(,)xy;2.写出适合条件P的几何点集:()PMPM;3.用坐标表示条件()PM,列出方程(,)0fxy;4.化简方程(,)0fxy为最简形式;5.证明(查漏除杂).以上过程可以概括为一句话:建设现．．．(．限．)．代化．．.♦探讨建立平面直角坐标系的方案OxyOxyOxyMF1F2方案一F1F2方案二OxyMOxy原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；(一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴.)(对称、“简洁”)xF1F2Ｐ(x,y)0y设P(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距|F1F2|=2c(c0)，则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0).P与F1和F2的距离的和为固定值2a(2a2c)（问题：下面怎样化简？）aPFPF2||||21222221)(||,)(||ycxPFycxPFaycxycx2)()(2222由椭圆的定义得，限制条件：由于得方程得右边将左边的一个根式移到为化简这个方程,,,22222ycxaycx得将这个方程两边平方,,222222244ycxycxaaycx,222ycxacxa整理得得上式两边再平方,,2222222222422yacacxaxaxccxaa,22222222caayaxca整理得1122222222.,cayaxcaa得两边同除以.,,,02222cacaca所以即由椭圆的定义可知?,,,.的线段吗从中找出表示你能观察图思考22312cacayOx1F2FP312.图,||||,|||,.cOFOFaPFPF2121312可知由图,||.||2222caPObcaPO令20112222.babyax式就是那么刚才我们得到了焦点在x轴上的椭圆方程，如何推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程呢？（问题：下面怎样化简？）aPFPF2||||21222221)(||,)(||cyxPFcyxPFacyxcyx2)()(2222由椭圆的定义得，限制条件：由于得方程aycxycxx2)()(2222轴　　焦点在).0(12222babyaxOXYF1F2M(-c,0)(c,0)YOXF1F2M(0,-c)(0,c))0(12222babyax)0(12222babxay♦椭圆的标准方程的特点：（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1（2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。（3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。（4）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上。2222+=10xyabab2222+=10xyabba分母哪个大，焦点就在哪个轴上222=+abc平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹12-,0,0，FcFc120,-0,，FcFc标准方程不同点相同点图形焦点坐标定义a、b、c的关系焦点位置的判断♦再认识！xyF1F2POxyF1F2PO例1.求下列椭圆的焦点坐标，以及椭圆上每一点到两焦点距离的和。14)1(22yx154)2(22yx164)3(22yx解（1）椭圆方程具有形式12222byax其中1,2ba因此31422bac两焦点坐标为)0,3(),0,3(椭圆上每一点到两焦点的距离之和为42a52a21,0,1,02，，焦点坐标82,0,32,0,3214y16x322a，焦点为变形为例2、求满足下列条件的椭圆的标准方程：两焦点的距离为8，椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10。解；由焦距为8得2c=8即c=4，2a=10即a=5.所以3452222cab解析；由题意无法确定焦点在哪个轴，所以分类讨论焦点在x轴的标准方程192522yx焦点在y轴的标准方程125922yx.,23,25,0,2,0,23求椭圆的标准方程并且经过点标分别是已知椭圆的两个焦点坐例.,012222babyaxx程为所以它的标准方轴上因为椭圆的焦点在解,10223225232252222a2由椭圆定义知.,.6410210222cabca故又则.,161022yx所求椭圆的标准方程为因此?的方程吗你还能用其他方法求它小结：求椭圆标准方程的方法一种方法：二类方程:三个意识：求美意识，求简意识，前瞻意识12222byax012222babxay意图；通过小结，使学生理清这些课的重难点，深化对基本概念，基本理论的理解，培养学生宏观掌握知识的能力，为进一步学习打下坚实的基础。2222+=10xyabab2222+=10xyabba分母哪个大，焦点就在哪个轴上222=+abc平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹12-,0,0，FcFc120,-0,，FcFc标准方程不同点相同点图形焦点坐标定义a、b、c的关系焦点位置的判断xyF1F2POxyF1F2PO.,23,25,0,2,0,23求椭圆的标准方程并且经过点标分别是已知椭圆的两个焦点坐例.,012222babyaxx程为所以它的标准方轴上因为椭圆的焦点在解,10223225232252222a2由椭圆定义知.6410,2.10222cabca故又则.,161022yx所求椭圆的标准方程为因此?的方程吗你还能用其他方法求它??,.,,,.什么为的轨迹是什么的中点线段在圆上运动时点当为垂足轴的垂线段作过点上任取一点在圆如图例MPDPDPDxPPyx4512222xyPMDO512.图.,.,的坐标所满足的方程的方程得到点的坐标满足圆并由点坐标之间的关系式与点的中点得到点为线段我们可以由运动点的运动引起点上运动在圆点分析MPPMPDMMPyxP422.,形成轨迹的过程观察点操作打开的几何画板MxyPMDO512.图.,,,,,20000yyxxyxPyxM则的坐标为点的坐标为设点解14420202200.,,yxyxyxP所以上在圆因为点,,,44122200yxyyxx得代入方程把..的轨迹是一个椭圆所以点即Myx1422称为代点法（相关点法）..,,,,,,20000方程常用的一种方法迹这是解析几何中求点轨的轨迹方程得到点然后消去之间的关系与中间变量的坐标寻找点中在例MyxyxyxMxMyABO612.图.,,,.,,,,,.的轨迹方程求点且它们的斜率之积是相交于点直线的坐标分别为设点如图例MMBMAMBA9405056123.,,,,.,,,,的轨迹方程得出点关系式之间的因此可以建立的斜率之积是由于直线的式子表示的斜率就可以用含那么直线的坐标为设点分析MyxBMAMyxBMAMyxM94.察轨迹的形成过程操作打开的几何画板观xMyABO612.图;,,,,,5505xxykAMAyxMAM的斜率直线所以的坐标是因为点的坐标为设点解.,55xxykBMBM的斜率直线同理由已知中有,59455xxyxy./,5191002522xyxM的轨迹方程为得点化简