微积分计算体积

旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台体积一、旋转体的体积一般地，如果旋转体是由连续曲线)(xfy、直线ax、bx及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体，体积为多少？取积分变量为x，],[bax在],[ba上任取小区间],[dxxx，取以dx为底的窄边梯形绕x轴旋转而成的薄片的体积为体积元素，dxxfdV2)]([旋转体的体积为dxxfVba2)]([xyo)(xfyxdxx0,,),(xdycyyx及直线所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周所成的立体的体积为dcdyyV)(2xyo)(yxcd例1求椭圆12222byax所围成的平面图形分别绕x轴和y轴旋转一周所成的旋转体（旋转椭球体）的体积类似地，由连续曲线①这个旋转体可以看成是由半个椭圆22xaaby及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转而成的立体dxxaabVaa22221234ab②与上同理椭球体也可以看成由半个椭圆22ybbax及y轴围成的平面图形绕y轴旋转而成的立体解dyybbaVbb22222ba234特别当a=b时旋转体成为球体32134aVV例2求星形线323232ayx)0(a绕x轴旋转构成旋转体的体积.解,323232xay332322xay],[aax旋转体的体积dxxaVaa33232.105323a例3求摆线)sin(ttax，)cos1(tay的一拱与0y所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转构成旋转体的体积.解绕x轴旋转的旋转体体积a2a)(xydxxyVax)(2202022)cos1()cos1(dttata20323)coscos3cos31(dtttta.532a绕y轴旋转的旋转体体积oyxa2ABCa2)(2yxx)(1yxx可看作平面图OABC与OBC分别绕y轴旋转构成旋转体的体积之差.dtyxVay)(2202dtyxa)(2201222sin)sin(tdtatta022sin)sin(tdtatta2023sin)sin(tdttta.633a例4证明由平面图形)(0,0xfyba（f(x)连续）绕y轴旋转而成的立体的体积为badxxxfV)(2],[],[badxxx对应的部分量V可近似看成内径为x，外径为x+dx高为f(x)的薄壁圆筒故)(])[(22xfxdxxVdxxxfdV)(2证或展开后近似于长为宽为dx高为f(x)的薄长方体x2dxxxfdV)(2badxxxfV)(2利用这个公式，可知上例中dxxfxVay|)(|22020)]sin([)cos1()sin(2ttadtatta2023)cos1)(sin(2dtttta.633a例5求由曲线24xy及0y所围成的图形绕直线3x旋转构成旋转体的体积.解取积分变量为y,]4,0[y体积元素为dyQMPMdV][22dyyy])43()43([22,412dyydyyV40412.64MdyQP求圆心在(b,0)半径为a(0ab)的圆绕y轴旋转一周所成的环状体的体积解圆的方程222)(aybx22)(bxayabxabdxbxaxVabab22)(22bxtdttabtaa22)(4dttabdttataaaa222244ba222例6bxaxfy),(绕x轴旋转dV=薄片圆柱的体积（底半径为f(x)，高为dx）dxxfdV)(2——柱片法绕y轴旋转dV=薄壁圆筒的体积（内径为x，外径为x+dx高为f(x))dxxxfdV)(2——柱壳法旋转体的侧面积bxaxfy),(绕x轴旋转所得的旋转面的侧面积为dxxfxfSba)(1)(22一般地如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.)(xA表示过点x且垂直于x轴的截面面积，xoab)(xA为x的已知连续函数,)(dxxAdV.)(badxxAV立体体积xdxx二、平行截面面积为已知的立体的体积例7一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角，计算这平面截圆柱体所得立体的体积.解取坐标系如图底圆方程为222Ryx垂直于x轴的截面为直角三角形截面面积,tan)(21)(22xRxA立体体积dxxRVRRtan)(2122.tan323RRRxyox已知点A（1,0,1),B(0,1,0)，线段AB绕z轴旋转一周所成的旋转曲面为S，求由S和两平面z=0,z=1所围立体的体积解AB的方程为11111zyxzyzx1在z轴上截距为z的水平面截此旋转体所得截面为一个圆，此截面与z轴交于点Q(0,0,z)，与AB交于点M(z,1-z,z)，222221)1(||)(zzzzMQzr截面面积)221()()(22zzzrzS立体体积1032)(dzzSV故截面的半径为例8旋转体的体积绕轴旋转一周x绕轴旋转一周y绕非轴直线旋转一周平行截面面积为已知的立体的体积思考题求曲线4xy，1y，0x所围成的图形绕y轴旋转构成旋转体的体积.三、小结14yxy交点),1,4(立体体积dyxVy12dyy1216116y.16yxo思考题解答练习题一、填空题：1、连续曲线,)(xfy直线ax，bx轴及x所围图形轴绕x旋转一周而成的立体的体积v__________，轴绕y旋转一周而成的立体的体v积____________；2、badxxfv)(常用来表示__________________立体的体积；3、抛物线axy42及直线)0(00xxx所围成的图形轴绕x旋转而成的立体的体积______；4、0,,0,coshyaxxaxay所围成的图x形绕轴旋转而成的立体的v体积_________；二、有一铁铸件，它是由抛物线、2101xy11012xy与直线10y围成的图形，轴绕y旋转而成的旋转体，算出它的质量（长度单位是厘米，铁的密度是38.7厘米克）.三、把星形线323232ayx轴绕x旋转，计算所得旋转体的体积.四、求摆线)sin(ttax，)cos1(tay的一拱，0y，绕直线ay2旋转所成旋转体的体积.五、求222ayx绕)0(abbx旋转所成旋转体的体积.六、设有一截锥体，其上，下底均为椭圆，椭圆的轴长分别为和BA2,2ba2,2,h高为，求这截锥体的体积.七、设直线baxy与直线0x，1x及0y所围成梯形面积等于A，试求ba,使这个梯形轴绕y旋转所得体积最小.一、1、badxxf)(2,badxxxf)(2；2、已知平行截面面积的；3、202ax；4、]22[43sha.二、(克).三、310532a.四、327a.五、ba222.六、])(2[61bAaBABabh.七、Aba,0.练习题答案