九年级培优专题训练(一)一元二次方程及其解法

九年级数学培优专题训练（一）一元二次方程及其解法1.比较你所学过的各种整式方程，说明它们的未知数的个数与次数．你能写出各种方程的一般形式吗？所学过的整式方程有：一元一次方程、一元二次方程和一元二次．一元一次方程的未知数的个数为1个，次数为1．一元二次方程的未知数的个数为1个，次数为2．一元二次的未知数的个数为2个，次数为1．一元一次方程的一般形式为：ax+b=0(a≠0)一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0(a≠0)一元二次的一般形式为：ax+by=0(a≠0,b≠0)热点一：一元二次方程的定义2-2或1或-11、方程是关于x的一元二次方程，m的值为______；若是关于x的一元一次方程，m的值为____________．（）m+2x|m|+3mx+1=0一元二次方程的常用解法有四种：①直接开平方降次法；②配方法；③因式分解法（提公因式法、公式法、十字相乘法）④公式法方法选择优先顺序：①直接开平方降次法②因式分解法③配方法④公式法热点二：一元二次方程的解法【例1】我们知道，一元二次方程主要有四种解法，分别是：因式分解法、直接开平方法、配方法和公式法．请在以下四个方程中任选一个，并用合适的方法解方程．(1)2x2－7x＋5＝0;(2)3x2－12x＝0；(3)2(x－6)2＝72;(4)x2－4x＝5.解：(以下任答出1个即可)(1)2x2－7x＋5＝0(2x－5)(x－1)＝0，解得x1＝52，x2＝1.(2)3x2－12x＝0，3x(x－4)＝0，解得x1＝0，x2＝4.(3)2(x－6)2＝72，(x－6)2＝36，∴x－6＝±6.即x1＝12，x2＝0.(4)x2－4x＝5，(x－2)2＝9，x－2＝±3，x＝2±3，即x1＝5，x2＝－1.【跟踪训练】1．一元二次方程x2＝2x的根是()CA．x＝2C．x1＝0，x2＝2B．x＝0D．x1＝0，x2＝－22．方程2x(x－3)＝0的解是________________．x1＝0，x2＝33．解方程：x2－4x－1＝0.解：∵x2－4x－1＝0，∴x2－4x＝1.∴x2－4x＋4＝1＋4.∴(x－2)2＝5.∴x＝2±5.∴x1＝2＋5，x2＝2－5.一元二次方程根的判别式：①当b2－4ac＞0时，原方程有两个不相等的实数根；②当b2－4ac＝0时，原方程有两个相等的实数根；③当b2－4ac＜0时，原方程没有实数根．热点三：一元二次方程根的判别式4(m＋2)2－4(m2－1)≥0，解得m≥.综上所述，m≥.例2：若关于x的方程(m2－1)x2－2(m＋2)x＋1＝0有实数根，求m的取值范围．解：当m2－1＝0且m＋2≠0时，即m＝±1时方程为一元一次方程，有一个实数根；当m2－1≠0时，原方程为一元二次方程，依题意，判别式5454【跟踪训练】4．已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是()CA．a＜2C．a＜2且a≠1B．a＞2D．a＜－25．当k________时，关于x的一元二次方程x2＋6kx＋3k2＋6＝0有两个相等的实数根．±1解析：∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝b2－4ac＝(6k)2－4(3k2＋6)＝0.∴24k2＝24.∴k＝±1.6．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0(a≠0)有两个相等的实数根，求ab2(a－2)2＋b2－4的值．解：∵ax2＋bx＋1＝0(a≠0)有两个相等的实数根，∴Δ＝b2－4ac＝0，即b2－4a＝0.∵ab2(a－2)2＋b2－4＝ab2a2－4a＋4＋b2－4＝ab2a2－4a＋b2＝ab2a2，且a≠0，∴ab2a2＝b2a＝4.7．已知：ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程(1)当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；(2)若AB的长为2，那么ABCD的周长是多少？x2－mx＋m2－14＝0的两个实数根．解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD.当(m－1)2＝0时，即m＝1时，四边形ABCD是菱形.又∵Δ＝m2－4m2－14＝m2－2m＋1＝(m－1)2.把m＝1代入x2－mx＋m2－14＝0，得x2－x＋14＝0.∴x1＝x2＝12.∴菱形ABCD的边长是12.7．已知：ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2－mx＋m2－14＝0的两个实数根．(2)把AB＝2代入x2－mx＋m2－14＝0，得4－2m＋m2－14＝0.解得m＝52.把m＝52代入x2－mx＋m2－14＝0，得x2－52x＋1＝0.解得x1＝2，x2＝12.∴AD＝12.∵四边形ABCD是平行四边形，∴ABCD的周长是22＋12＝5.7．已知：ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2－mx＋m2－14＝0的两个实数根．