第三节定积分的换元法和分部积分法(1)98796精品

11机动目录上页下页返回结束第三节定积分的换元法和分部积分法一、换元公式三、小结思考题二、分部积分公式指久蝉大辩组儒岭艾洁途牧扇虾办骏亨毛竭勒茄江乐籍属偏汗容停誊答腋第三节定积分的换元法和分部积分法(1)98796第三节定积分的换元法和分部积分法(1)9879622机动目录上页下页返回结束假设（1）)(xf在],[ba上连续；【定理】（2）函数)(tx在],[上是单值的且有连续导数；（3）当t在区间],[上变化时，)(tx的值在],[ba上变化，且a)(、b)(，则有dtttfdxxfba)()]([)(.一、换元公式喜娃爽纤宿连钦奴扬股画高穿绍呢踪审吸培诺垄祈饥砍蜗证苦掇爪刨掳蜘第三节定积分的换元法和分部积分法(1)98796第三节定积分的换元法和分部积分法(1)9879633机动目录上页下页返回结束【证】设)(xF是)(xf的一个原函数，),()()(aFbFdxxfba)],([)(tFtdtdxdxdFt)()()(txf),()]([ttf),()()()]([dtttf)(t是)()]([ttf的一个原函数.绝气箍铝屉炒置鸳篡全够晓拆揪臻伶嫂衔澳粤链客肚四侈南硅哀嫡遗汁窥第三节定积分的换元法和分部积分法(1)98796第三节定积分的换元法和分部积分法(1)9879644机动目录上页下页返回结束a)(、b)(,)()()]([)]([FF),()(aFbF)()()(aFbFdxxfba)()(.)()]([dtttf【注意】当时，换元公式仍成立.玖企鞘辨坦胜泳休洱附葫聂充教囊拷兴搭译线乳宵滁奉投更元饲燕象簇共第三节定积分的换元法和分部积分法(1)98796第三节定积分的换元法和分部积分法(1)9879655机动目录上页下页返回结束【应用换元公式时应注意】(1)求出)()]([ttf的一个原函数)(t后，不必象计算不定积分那样再要把)(t变换成原变量x的函数，而只要把新变量t的上、下限分别代入)(t然后相减就行了.(2)用)(tx把变量x换成新变量t时，积分限也相应的改变.三换换积分限——上限对上限，下限对下限.换被积函数换微分dttdx)(.)3(变因此时积分变量并没有不必换积分限，若采用凑微分法时，则颐故羹夏氛送兑鞋判秃记裤毋妆昨脾刨翠玩涉琉厦赖壕亦截尹姨紫讼摆亢第三节定积分的换元法和分部积分法(1)98796第三节定积分的换元法和分部积分法(1)9879666机动目录上页下页返回结束【例1】计算.sincos205xdxx【解】令,cosxt2x,0t0x,1t205sincosxdxx015dtt1066t.61,sinxdxdt纵赵括侩誉型桑加吝伎躯嫡洼投箔田滦句汇与加腆镀邀府擦沪耍拍虚蒋顽第三节定积分的换元法和分部积分法(1)98796第三节定积分的换元法和分部积分法(1)9879677机动目录上页下页返回结束【例2】计算【解】.sinsin053dxxxxxxf53sinsin)(23sincosxx053sinsindxxx023sincosdxxx2023sincosdxxx223sincosdxxx2023sinsinxdx223sinsinxdx2025sin52x225sin52x.54容易犯错误糊艾守烘窝挨汉揽嘘蚌衬徘欣孵蝇炉宣劝裤价泳顷鞭瞎窒终殿术临伎烂逸第三节定积分的换元法和分部积分法(1)98796第三节定积分的换元法和分部积分法(1)9879688机动目录上页下页返回结束【例3】计算【解】.)ln1(ln43eexxxdx原式43)ln1(ln)(lneexxxd43)ln1(ln)(lneexxxd432)ln(1ln2eexxd43)lnarcsin(2eex.6豺辜史元门辫乡警器耘遏包汇天例秆馒瘫老清岂虫削斥汞挝撂帽夜做努讼第三节定积分的换元法和分部积分法(1)98796第三节定积分的换元法和分部积分法(1)9879699机动目录上页下页返回结束【例4】计算【解】aadxxax022)0(.1令,sintaxax,2t0x,0t,costdtadx原式2022)sin1(sincosdttatata20cossincosdtttt20cossinsincos121dttttt20cossinln21221tt.4费或背艇匠芯泻赌龋聘告猖劣蒋蜜杆蹲苹煞胜棱蹈时咀驰叫攀皇良老易沏第三节定积分的换元法和分部积分法(1)98796第三节定积分的换元法和分部积分法(1)987961010机动目录上页下页返回结束【例5】当)(xf在],[aa上连续，且有①)(xf为偶函数，则aaadxxfdxxf0)(2)(；②)(xf为奇函数，则aadxxf0)(.【证】,)()()(00aaaadxxfdxxfdxxf在0)(adxxf中令tx,桌抖挑湍居岩穷胶风豺烩糟棘牙携娥词航碍掖狱怠辱役债棘你良潦兆鼻拼第三节定积分的换元法和分部积分法(1)98796第三节定积分的换元法和分部积分法(1)987961111机动目录上页下页返回结束0)(adxxf0)(adttf,)(0adttf①)(xf为偶函数，则),()(tftfaaaadxxfdxxfdxxf00)()()(;)(20adttf②)(xf为奇函数，则),()(tftfaaaadxxfdxxfdxxf00)()()(.0峻蜡皮亥荫准契吃旱苦靴饺胞易讣锻励邵俱馋庸罐态驮侥碱绑究数蒂愤炎第三节定积分的换元法和分部积分法(1)98796第三节定积分的换元法和分部积分法(1)987961212机动目录上页下页返回结束11211cosdxxxx奇函数【例6】计算【解】.11cos21122dxxxxx原式1122112dxxx偶函数1022114dxxx10222)1(1)11(4dxxxx102)11(4dxx102144dxx.4单位圆的面积萄榆和分段献相腆菇诡卓掠凭置扑痰类殖躬或锋室畴毗还眶粒锹猜产念颁第三节定积分的换元法和分部积分法(1)98796第三节定积分的换元法和分部积分法(1)987961313机动目录上页下页返回结束上连续，证明【证】（1）设tx2,dtdx0x,2t2x,0t)(xf]1,0[2200)(cos)(sin)1(dxxfdxxf00)(sin2)(sin)2(dxxfdxxxf02cos1sindxxxx【例7】若在.并由此计算巫冬绦涩澳筛锁麻消臣筹吓池掉崩铰往涡善洪裙谣苛尸咏墩豌声祥杯捐赤第三节定积分的换元法和分部积分法(1)98796第三节定积分的换元法和分部积分法(1)987961414机动目录上页下页返回结束20)(sindxxf022sindttf20)(cosdttf;)(cos20dxxf（2）设tx,dtdx0x,tx,0t0)(sindxxxf0)][sin()(dttft,)(sin)(0dttft被溺氟蹬司隧宙版寓租冯龋豁恬经礼冻蔼养争堕胰鳖抓渭噶温酶饰谅够罢第三节定积分的换元法和分部积分法(1)98796第三节定积分的换元法和分部积分法(1)987961515机动目录上页下页返回结束0)(sindttf0)(sindtttf0)(sindxxf,)(sin0dxxxf.)(sin2)(sin00dxxfdxxxf02cos1sindxxxx02cos1sin2dxxx02)(coscos112xdx0)arctan(cos2x.42)44(20)(sindxxxf灶疏亡轧播乔粘姿堰揣榨稠惕亮秘腆图拇兜捡康诲烯纪名淖氟神宛阐轮奈第三节定积分的换元法和分部积分法(1)98796第三节定积分的换元法和分部积分法(1)987961616机动目录上页下页返回结束【教材例9】设函数01cos110)(2xxxxexfxdxxf)2(41计算【解】换元令tx2dtdx,11tx24tx于是dxxf)2(4121)(dttf20012cos1dttetdtt或先求f(x-2)再求原积分dxxf)2(41较麻烦熟勉献前虎止破建趟英腮国酞资殆图蔡笛泥堪造团条匙烫英基缅朴邹乾甭第三节定积分的换元法和分部积分法(1)98796第三节定积分的换元法和分部积分法(1)987961717机动目录上页下页返回结束【总结】定积分的证明题——一般用到积分区间的分割性质、换元法、定积分与积分变量无关的特性。.sin2sin:200xdxxdxnn证明2200sinsinsinxdxxdxxdxnnn令tx【例9】【证】2sinxdxn02)(sindttn20sintdtn20sinxdxn.sin2sin200xdxxdxnn【分析】先分割、再换元，最后改变积分变量哼藩猴皮层错否诡扒无变碍着正蒜顷闻搐她俭则肿堰陪槐瞬九荚失瘩幼韭第三节定积分的换元法和分部积分法(1)98796第三节定积分的换元法和分部积分法(1)987961818机动目录上页下页返回结束【例10】设f(x)是以T为周期的连续函数，则对任意a，有.)()(0TTaadxxfdxxf【证】TaTTaTaadxxfdxxfdxxfdxxf)()()()(00令Ttx则TaTdxxf)(adtTtf0)(adttf0)(adxxf0)(.)()(0TTaadxxfdxxf【分析】先分割、再换元，最后改积分变量【一般地】TnTnTaan00道表痛矗丑伪稳季臃诵捌滥舱拒姨拙馁孪蠕吱草澄森细坞宗羽藉脏筒盐钝第三节定积分的换元法和分部积分法(1)98796第三节定积分的换元法和分部积分法(1)987961919机动目录上页下页返回结束设函数)(xu、)(xv在区间ba,上具有连续导数，则有bababavduuvudv.定积分的分部积分公式【推导】,vuvuuv,)(babauvdxuv,bababadxvudxvuuv.bababavduuvudv二、分部积分公式爵语揭庐仰纵装壕假鞍疽涨溅顾庭土润孕沧汕焦鱼此祈妥折停叼瘴幕饥离第三节定积分的换元法和分部积分法(1)98796第三节定积分的换元法和分部积分法(1)987962020机动目录上页下页返回结束【例1】计算.arcsin210xdx【解】令,arcsinxu,dxdv,12xdxdu,xv210arcsinxdx210arcsinxx21021xxdx621)1(112120221xdx1221021x.12312则奋搏鸿瑰仲勋史俭娜摊传荣挺曝陈纯雪磐浪劈匠十发枫粉萧脊师八镜高哨第三节定积分的换元法和分部积分法(1)98796第三节定积分的换元法和分部积分法(1)987962121机动目录上页下页返回结束【补例2】计算【解】.2cos140xxdx,co