2015初二矩形培优教师打印版

高考750分得分723分湖南理科状元的数学老师姚老师电话：[phone]初二数矩形形（提高）（提高）第8期VIP17.解析：证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD，又∵AC是折痕，∴BC=CE=AD，AB=AE=CD，在△ADE与△CED中，∴△ADE≌△CED（SSS）；（2）∵△ADE≌△CED，∴∠EDC=∠DEA，又∵△ACE与△ACB关于AC所在直线对称，∴∠OAC=∠CAB，∵∠OCA=∠CAB，∴∠OAC=∠OCA，∴2∠OAC=2∠DEA，∴∠OAC=∠DEA，∴DE∥AC．18.解析：（1）证明：由折叠的性质可得：DE=BC，∠E=∠C=90°，在△DEF和△BCF中，，∴△DEF≌△BCF（AAS）；（2）解：在Rt△ABD中，∵AD=3，BD=6，∴∠ABD=30°，由折叠的性质可得；∠DBE=∠ABD=30°，∴∠EBC=90°﹣30°﹣30°=30°．19.解析：△ADC＝△AGC﹣△ADG＝12×AG×BC﹣12×AG×BF＝12×8×(6＋9)﹣12×8×9＝60﹣36＝24．故选：B．初二数学辅导第9期矩形（提高版）2015年3月28日高考750分得分723分的湖南理科状元的数学老师学员姓名:__________________辅导老师：姚老师电话：[phone]★★★★★高考750分得分723分湖南理科状元的数学老师姚老师电话：[phone]初二数矩形形（提高）（提高）第8期VIP矩形（提高）撰稿：康红梅责编：吴婷婷【学习目标】1.理解矩形的概念.2.掌握矩形的性质定理与判定定理.【要点梳理】【高清课堂特殊的平行四边形（矩形）知识要点】要点一、矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.要点二、矩形的性质矩形的性质包括四个方面：1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.要点三、矩形的判定矩形的判定有三种方法：1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是矩形.P118..（2014•湘潭，第20题）如图，将矩形ABCD沿BD对折，点A落在E处，BE与CD相交于F，若AD=3，BD=6．（1）求证：△EDF≌△CBF；（2）求∠EBC．18题图19题图19．（2014·台湾，第12题3分）如图，D为△ABC内部一点，E、F两点分别在AB、BC上，且四边形DEBF为矩形，直线CD交AB于G点．若CF＝6，BF＝9，AG＝8，则△ADC的面积为何？()A．16B．24C．36D．54P18高考750分得分723分湖南理科状元的数学老师姚老师电话：[phone]初二数矩形形（提高）（提高）第8期VIP走进2014年中考（矩形）16.（2014·浙江金华，第15题4分）如图，矩形ABCD中，AB=8，点E是AD上的一点，有AE=4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连结EF交CD于点G，若G是CD的中点，则BC的长是．16题图17题图17.（2014•呼和浩特，第21题7分）如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿AC折叠，点B落在点E处，AE与DC的交点为O，连接DE．（1）求证：△ADE≌△CED；（2）求证：DE∥AC．P17要点四、直角三角形斜边上的中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.【典型例题】考点一、矩形的性质例题1、如图所示，已知四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．求证：(1)∠PBA＝∠PCQ＝30°；(2)PA＝PQ．【思路点拨】(1)矩形的四个内角都等于90°，利用条件△PBC和△QCD都是等边三角形，容易求得∠PBA和∠PCQ度数；(2)利用(1)的结论以及矩形的性质进一步证明△PAB≌△PQC(SAS)，从而证得PA＝PQ．【答案与解析】证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°．∵△PBC和△QCD是等边三角形，P2高考750分得分723分湖南理科状元的数学老师姚老师电话：[phone]初二数矩形形（提高）（提高）第8期VIP∴∠PBC＝∠PCB＝∠QCD＝60°，∴∠PBA＝∠ABC－∠PBC＝30°，∠PCD＝∠BCD－∠PCB＝30°．∴∠PCQ＝∠QCD－∠PCD＝30°，故∠PBA＝∠PCQ＝30°(2)∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC．∵△PBC和△QCD是等边三角形，∴PB＝PC，QC＝DC＝AB．∵AB＝QC，∠PBA＝∠PCQ，PB＝PC．∴△PAB≌△PQC，∴PA＝PQ．【总结升华】利用矩形的性质，可以得到许多的结论，在解题时，针对问题列出有用的结论作论据即可．举一反三：【变式】如图所示，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B处，点A落在点A处．(1)求证：BEBF；(2)设AE＝a，AB＝b，BF＝c，试猜想abc、、之间P311.【答案】125；【解析】BD＝5，利用面积法，PE＋PF＝△AOD中OD边上的高＝345.12.【答案】12；【解析】设BE＝EF＝x，CE＝b，CF＝a，DF＝y，则9,3xbyyaxab，解得3y，矩形ABCD的周长＝223312yaxb.13.【解析】解：（1）AF＝CD．理由：∵E是AD的中点，∴AE＝DE∵AF∥BC∴∠EBD＝∠EFA，∠EDB＝∠EAF，可得△AEF≌△DEB．∴AF＝BD．∵BD＝CD，∴AF＝CD．（2）四边形ADCF为矩形．理由：∵AF∥CD，AF＝CD，∴四边形AFCD为平行四边形．∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠ADC＝90°．∴四边形AFCD为矩形．14.【解析】（1）证明：∵BE⊥AC．DF⊥AC，∴∠BEO＝∠DFO＝90°，∵点O是EF的中点，∴OE＝OF，又∵∠DOF＝∠BOE，∴△BOE≌△DOF（ASA）；（2）解：四边形ABCD是矩形．理由如下：∵△BOE≌△DOF，∴OB＝OD，又∵OA＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵OA＝12BD，OA＝12AC，∴BD＝AC，∴ABCD是矩形．15.【解析】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，AB＝CD，∴∠BEF＋∠BFE＝90°．∵EF⊥ED，∴∠BEF＋∠CED＝90°．∴∠BFE＝∠CED．又∵EF＝ED，∴△EBF≌△DCE．∴BE＝CD．∴BE＝AB．∴∠BAE＝∠BEA＝45°．∴∠EAD＝45°．∴∠BAE＝∠EAD．∴AE平分∠BAD．P16高考750分得分723分湖南理科状元的数学老师姚老师电话：[phone]初二数矩形形（提高）（提高）第8期VIP考点集训【答案与解析】1.【答案】D2.【答案】D；【解析】矩形的短边可能是1，也可能是3，所以面积为4×1或4×3.3.【答案】C；【解析】当BP=AB或BP=BC时，∠APE是直角.4.【答案】B；【解析】∠EMF＝∠EMB′＋∠FMB′＝21∠BMC′＋21∠CMC′＝21×180°＝90°.5．【答案】C；【解析】过点C做BE垂线，垂足为F，易证△BAE≌△CBF，所以BF＝AE，BE＝CF，所以总面积＝AE×BE＋CF×EF＝AE×BE＋BE×（BE－AE）＝28BE，22BE.6.【答案】C；【解析】设边长为ab、，则23,120,abab解得22289ab，所以对角线为28917.7．【答案】【解析】AD＝A1D＝2CD，所以∠CA1D＝30°，∠EA1B＝60°.8.【答案】136；【解析】设AE＝CE＝x，DE＝3x，22232xx，136x.9.【答案】8；【解析】由矩形的性质可知△AOB是等边三角形，∴AC＝2AO＝2AB＝8cm．10.【答案】6；【解析】设AB＝AF＝x，BE＝EF＝3，EC＝5，P15则CF＝4，22284xx，解得6x.P15有何等量关系，并给予证明．【答案】证明：(1)由折叠可得BFEBFE．∵AD∥BC，∴BEFBFEBFE，∴BEBF，∴BEBF．(2)猜想222abc．理由：由题意，得AEAEa，ABABb．由(1)知BEBFc．在ABE△中，∵90A°，AEa，ABb，BEc，∴222abc．例题2、如图所示，矩形ABCD中，AC、BD相交于O，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE＝15°，求∠BOE的度数．【思路点拨】∠BOE在△BOE中，易知∠OBE＝30°，直接求∠BOE有困难，转为考虑证BO＝BE．由AE平分∠BAD可求∠BAE＝45°得到AB＝BE，进一步可得等边△AOB．有AB＝OB．证得BO＝BE．【答案与解析】解：∵四边形ABCD是矩形，P4高考750分得分723分湖南理科状元的数学老师姚老师电话：[phone]初二数矩形形（提高）（提高）第8期VIP∴∠DAB＝∠ABC＝90°，AO＝12AC，BO＝12BD，AC＝BD．∴AO＝BO．∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝45°．∴∠AEB＝90°－45°＝45°＝∠BAE．∴BE＝AB．∵∠CAE＝15°，∴∠BAO＝60°．∴△ABO是等边三角形．∴BO＝AB，∠ABO＝60°．∴BE＝BO，∠OBE＝30°．∴∠BOE＝18030752°°°．【总结升华】矩形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰三角形，因此矩形中的计算问题可以转化到直角三角形和等腰三角形中去解决．考点二、矩形的判定例题3、如图所示，在△ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．P514.（2014•青岛）已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，点O既是AC的中点，又是EF的中点．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）若OA＝12BD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？说明理由．15.已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED．求证：AE平分∠BAD．P14高考750分得分723分湖南理科状元的数学老师姚老师电话：[phone]初二数矩形形（提高）（提高）第8期VIP12.如图所示，将矩形ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的F处，若△AFD的周长为9，△ECF的周长为3，则矩形ABCD的周长为_____.三.解答题13．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交BE的延长线于F，连接CF．（1）线段AF与CD相等吗？为什么？（2）如果AB＝AC，试猜测四边形ADCF是怎样的特殊四边形，并说明理由．P13(1)试证明EO＝FO；(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？简要说明理由．【思路点拨】(1)根据条件证明△OEC与△OCF都是等腰三角形，即OE＝OC，OF＝OC，所以EO＝FO．(2)由(1)OE＝OC＝OF，只要OA＝OC，即点O为AC的中点，则四边形AECF是矩形．【答案与解析】证明：(1)因为MN∥BC，CE，CF分别是∠BCA、∠BCA外角的平分线，所以∠CEO＝∠ECO，∠CFO＝∠FCO，所以OE＝OC，OF＝OC，所以EO＝FO．(2)当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．由(1)知EO＝FO，又因为AO＝CO，所以四边形AECF为平行四边形．因为OE＝OC，所以AC＝EF，所以四边形AECF是矩形．【总结升华】对角线互相平分且相等的四边形是矩形，是对平行四边形、矩形判定的综合应用.P6高考750分得分723分湖南理科状元的数学老师姚老师电话：[phone]初二数矩形形（提高）（提高）第8期VIP举一反三：【变式】已知ABCD的对角线AC，BD相交于O，△A