全等三角形的判定(SAS)

12.2三角形全等的判定第十二章全等三角形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时“边角边”情境引入学习目标1．探索并正确理解三角形全等的判定方法“SAS”.（重点）2．会用“SAS”判定方法证明两个三角形全等及进行简单的应用．（重点）3.了解“SSA”不能作为两个三角形全等的条件．（难点）小伟作业本上画的三角形被墨迹污染了，他想画一个与原来完全一样的三角形，请你帮助小伟想一个办法，并说明你的理由．尺规作图画出一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，A′C′＝AC，∠A′＝∠A（即使两边和它们的夹角对应相等）.把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？ABC探究活动1：SAS能否判定的两个三角形全等ABCA′DEB′C′作法：（1）画∠DA'E=∠A；（2）在射线A'D上截取A'B'=AB,在射线A'E上截取A'C'=AC；（3）连接B'C'.在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS）．文字语言：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）．知识要点“边角边”判定方法几何语言：AB=DE，∠A=∠D，AC=AF，ABCDEF必须是两边“夹角”小伟作业本上画的三角形被墨迹污染了，他想画一个与原来完全一样的三角形，相信你现在一定有办法了吧!下列条件中，不能证明△ABC≌△DEF的是()A．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EFB．AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DFC．BC＝EF，∠B＝∠E，AC＝DFD．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF解析：要判断能不能使△ABC≌△DEF，应看所给出的条件是不是两边和这两边的夹角，只有选项C的条件不符合，故选C.C方法总结：判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等．解题时要根据已知条件的位置来考虑，只具备SSA时是不能判定三角形全等的．针对训练例1：如果AB=CB，∠ABD=∠CBD，那么△ABD和△CBD全等吗？分析:△ABD≌△CBD.边:角:边:AB=CB(已知)，∠ABD=∠CBD(已知)，？ABCD(SAS)BD=BD(公共边).典例精析证明：在△ABD和△CBD中，AB=CB(已知)，∠ABD=∠CBD(已知)，∴△ABD≌△CBD(SAS).BD=BD(公共边)，变式1:已知：如图,AB=CB,∠1=∠2.求证:(1)AD=CD；(2)DB平分∠ADC.ADBC1243在△ABD与△CBD中，证明:∴△ABD≌△CBD（SAS），AB=CB(已知），∠1=∠2（已知），BD=BD（公共边），∴AD=CD，∠3=∠4，∴DB平分∠ADC.ABCD变式2:已知:AD=CD，DB平分∠ADC，求证:∠A=∠C.12在△ABD与△CBD中，证明:∴△ABD≌△CBD（SAS），AD=CD(已知），∠1=∠2（已证），BD=BD（公共边），∴∠A=∠C.∵DB平分∠ADC，∴∠1=∠2.例2：如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到点D，使CD＝CA，连接BC并延长到点E，使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么?C·AEDB证明：在△ABC和△DEC中，∴△ABC≌△DEC（SAS），∴AB=DE，（全等三角形的对应边相等）.AC=DC（已知），∠ACB=∠DCE（对顶角相等），CB=EC（已知），证明线段相等或者角相等时，常常通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决.归纳已知:如图,AB=DB,CB=EB,∠1＝∠2，求证:∠A=∠D.证明:∵∠1＝∠2(已知)，∴∠1+∠DBC＝∠2+∠DBC(等式的性质)，即∠ABC＝∠DBE.在△ABC和△DBE中,AB＝DB(已知)，∠ABC＝∠DBE(已证)，CB＝EB(已知)，∴△ABC≌△DBE(SAS).∴∠A=∠D(全等三角形的对应角相等).1A2CBDE想一想：如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC.固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD.这个实验说明了什么？BACD△ABC和△ABD满足AB=AB,AC=AD,∠B=∠B,但△ABC与△ABD不全等.探究活动2：SSA能否判定两个三角形全等几何画板：探究边边角.gsp画一画：画△ABC和△DEF，使∠B=∠E=30°，AB=DE=5cm，AC=DF=3cm．观察所得的两个三角形是否全等？ABMCDABCABD有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.结论当堂练习1.在下列图中找出全等三角形进行连线.ⅠⅥ30ºⅣⅣ5cmⅡⅤ30ºⅧⅦⅢ30ºⅢ2.如图，AB=DB，BC=BE，欲证△ABE≌△DBC，则需要增加的条件是()A.∠A＝∠DB.∠E＝∠CC.∠A=∠CD.∠ABD＝∠EBCD3.如图，点E、F在AC上，AD//BC，AD=CB，AE=CF.求证：△AFD≌△CEB.FABDCE证明：∵AD//BC，∴∠A=∠C，∵AE=CF，在△AFD和△CEB中，AD=CB∠A=∠CAF=CE∴△AFD≌△CEB（SAS）.∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE.(已知），(已证），(已证），已知：如图，AB=AC,BD=CD，E为AD上一点，求证：BE=CE.变式1证明：∴∠BAD=∠CAD，在△ABD和△ACD中，AB=ACBD=CDAD=AD(已知），(公共边），(已知），∴BE=CE.在△ABE和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CADAE=AE(已知），(公共边），(已证），∴△ABD≌△ACD（SSS）.∴△ABE≌△ACE（SAS）.5.如图，已知CA=CB,AD=BD,M，N分别是CA，CB的中点，求证：DM=DN.在△ABD与△CBD中证明:CA=CB(已知）AD=BD（已知）CD=CD（公共边）∴△ACD≌△BCD（SSS）能力提升连接CD，如图所示；∴∠A=∠B又∵M，N分别是CA，CB的中点，∴AM=BN在△AMD与△BND中AM=BN(已证）∠A=∠B（已证）AD=BD（已知）∴△AMD≌△BND（SAS）∴DM=DN.全等三角形与其他图形的综合•如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG.求证：(1)AE＝CG；(2)AE⊥CG.证明：(1)∵四边形ABCD、DEFG都是正方形，∴AD＝CD，GD＝ED.∠ADG=90°∠ADG=90°∴∠CDG＝∠ADE.在△ADE和△CDG中，AD=CD∠CDG＝∠ADE.DG=DE∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴AE＝CG；如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG.求证：(1)AE＝CG；(2)AE⊥CG.(2)设AE与DG相交于M，AE与CG相交于N，在△GMN和△DME中，由(1)得∠CGD＝∠AED又∵∠GMN＝∠DME，∠DEM＋∠DME＝90°∴∠CGD＋∠GMN＝90°∴∠GNM＝90°，∴AE⊥CG.MN课堂小结边角边内容有两边及夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“SAS”)应用为证明线段和角相等提供了新的证法注意1.已知两边，必须找“夹角”2.已知一角和这角的一夹边，必须找这角的另一夹边寻找对应相等的边：公共边、中点或中线、通过计算（同加或同减）、做辅助线（构造公共边等）寻找对应相等的角：公共角、对顶角、角平分线平分角、直角或垂直（90°）、平行线性质、通过计算（同加或同减）