02-分析动力学1-约束理论

2019年9月30日Page1清华大学航天航空学院王天舒（[e-mail]）分析动力学之约束理论2019年9月30日Page2本节内容内容1：约束、广义坐标内容2：约束的几何意义内容3：约束对运动的影响（位移、速度）。虚位移是约束被“冻结”后此瞬时约束允许的无限小位移，与时间t的变化无关(t0)。分析力学的基础概念：虚位移2019年9月30日Page31.1位形空间对于物体运动的客观空间，引入笛卡儿坐标系Oxyz。为描述一个质点的运动，需考虑在每一时刻t的向径r(t):()()()()utxtytzt对于由N个质点所构成的系统，则需要3N个数来表示质点系统的位置和形状（位形）：12()()()()Nctututut引入由这3N个数张成的抽象空间来表示位形c，令该空间是由这3N个数构成各维的正交欧氏空间C，称为位形空间。运动的多维空间描述2019年9月30日Page4系统每一时刻的位形唯一对应于C空间的一个表现点cC空间的一个点c对应于系统的一个位形当系统的位形随时间变化时，其位形表现点在C空间中画出了一超曲线，即一维的轨迹，称为系统的C轨迹。C轨迹的一般性质：1.C轨迹是连续的；2.C轨迹可以有重点；3.C轨迹的拐点仅发生在如下情况；a.静止点处；b.在有打击作用的时刻；位形空间的特点2019年9月30日Page51.2约束约束：非自由质点系在空间中的位置及其在运动中受到的限制约束方程：用数学方程表达各质点所受的限制条件在由两个或更多质点构成的系统中，不受约束的运动是不存在的。绝大多数的运动都是约束运动。xylA刚性杆2220AAxyl约束2019年9月30日Page6具有如下形式或可以化为如下形式的约束称为完整约束：12((),(),,(),)0Nfutututt00Avxr2222220,lyxxyryxAABBAAxyorlBAxyCOA1.3完整约束完整约束(homonomicconstraint)2019年9月30日Page7如约束表达式中不显含时间t，则称其为定常约束(scleronomicconstraint)；否则称为非定常约束(rheonomicconstraint)。lyxA0222lyxAA222()0AAxyltxyA()lt定常约束和非定常约束2019年9月30日Page8对于定常约束：12((),(),,())0Nfututut一个约束方程构成位形空间上的一个N-1维固定曲面。对于非定常约束？系统运动的c轨迹必须位于该曲面内。约束方程的几何解释2019年9月30日Page91.4广义坐标能够唯一地确定质点系可能位置的独立参数称为广义坐标。选定广义坐标后，系统内笛卡儿坐标可由广义坐标确定12(,,,,)(1,2,3)iilxxqqqtiN广义坐标数为：3lNrN–质点总数r–完整约束的总数；广义坐标2019年9月30日Page10取一组新的坐标：123qxyqxqz123110100001xqqyqz两组坐标之间的变换关系：两组坐标均可以描述质点的位形考虑系统由一个质点构成约束方程为：x-y=0广义坐标2019年9月30日Page11注意到完整约束关系:则有：即可以用两个坐标表示系统的位形：广义坐标在广义坐标下系统的完整约束自然满足，约束方程可不予考虑。0xy1230qqxqz广义坐标2019年9月30日Page12设由N个质点组成的系统包含独立的r个完整约束123(,,,,)0(1,2,)kNfxxxtkr引入一组新的变量q：123(,,,,)(1,2,3)llNqfxxxtlN令变换关系中的前r项为完整约束，其余部分任选，但要求变换式为无关组。则可以得到从x到q的变换：123(,,,,)(1,2,3)llNxgqqqtlN广义坐标2019年9月30日Page13注意到完整约束关系:则有：123(,,,,)0(1,2,)kkNqfxxxtkr即笛卡儿坐标可利用另一组坐标表示1(0,0,,,)(1,2,3)kkrxgqtkN当采用广义坐标时，完整约束自动满足。广义坐标2019年9月30日Page14假设约束曲面是光滑的，有：12((),(),,(),)0Nfutututt10Nsssffdudtut在约束面上的任一点处的充分小临域内，约束方程要求所有的可能轨迹必须在其切平面内，而不是约束曲面内。虚位移在约束曲面的切平面内。约束对无穷小位移的影响（局部特性）2019年9月30日Page15在光滑球面上运动的质点，球面方程为：约束方程：2222xyzR2222xyzR无穷小的位移改变应满足：0xdxydyzdz约束对无穷小位移的影响（例）2019年9月30日Page16设在无穷小位移上的约束为：()0dygzdx其中g(z)为z的已知函数，求加在有限位移上的约束解：没有加在有限位移上的约束。若令加在有限位移上的约束为：()()ygzxCz则有：()()()()gzCzdygzdxxdzzz加在无穷小位移上的约束不一定会限制有限位移的运动。速度约束不一定对位移有限制。约束与有限位移和无穷小位移（例）2019年9月30日Page17不可化为完整约束形式的约束为非完整约束。大多数实际遇到的非完整约束问题，其约束方程为质点速度的一次代数方程：010(1,2,)NikikiAuAkstanCCyxOxyvC,,CCxytan0CCxy1.5非完整约束非完整约束2019年9月30日Page18上述形式的微分约束称为Pfaff约束。将速度形式的约束方程写成微分形式：010(1,2,)NikikiAduAdtks对于完整约束：12((),(),,(),)0Nfutututt0;kkikkiffAAut010(1,2,)NikikiAdxAdtkrs有：则系统的约束方程可以统一表示为微分形式：有关于Pfaff约束的可积性定理可见参考文献Pfaff形式2019年9月30日Page19完整约束限制系统的位形轨迹必须在约束曲面上。非完整约束？例：对于非完整约束：0dyzdx可否由原点到达空间中的任一点(x1,y1,z1)？在xy平面内作函数y=f(x)：解：1111(0)0,(0)0(),()fffxyfxz定义质点的轨迹为：()yfxdfzdx非完整约束的特点－可达性2019年9月30日Page20显然质点的轨迹满足：1.过原点2.过(x1,y1,z1)点3.满足约束方程：0dfdyzdxdfdxdx完整约束会减小可达的位形空间的维数，而非完整约束则不会。完整约束会减小广义坐标数，而非完整约束则不会。滑冰！非完整约束的特点－可达性2019年9月30日Page21END！