2011年考研数学二真题

第1页共9页2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案详解一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）已知当0x→时，函数()3sinsin3fxxx=−与kcx是等价无穷小，则（）（A）1,4kc==（B）1,4kc==−（C）3,4kc==（D）3,4kc==−【答案】应选（C）【分析】由泰勒公式及无穷小阶的比较可得。【详解一】333327sin(),sin33()3!3!xxxxoxxxox=−+=−[phone]()3sinsin3422limlimlim1kkkxxxxxoxxxxcxcxcx→→→−++−===所以4,3ck==【详解二】110003sinsin33cos3cos332sin2sin()limlimlimkkkxxxxxxxxxcxckxckx−−→→→−−−−==21012lim1kxxckx−→==所以12,12kck−==，即3,4kc==（2）已知()fx在0x=处可导，且(0)0f=，则2330()2()limxxfxfxx→−等于（）（A）2(0)f′−（B）(0)f′−（C）(0)f′（D）0【答案】应选（B）【分析】根据导数在某点的定义求解。【详解】2322333300()2()()(0)2()2(0)limlimxxxfxfxxfxxffxfxxx→→−−−=−因为()fx在0x=处可导，所以第2页共9页23223333000()2()()(0)2()2(0)limlimlimxxxxfxfxxfxxffxfxxx→→→−−−=−(0)2(0)(0)fff′′′=−=−（3）函数()ln(1)(2)(3)fxxxx=−−−的驻点个数为（）（A）0（B）1（C）2（D）3【答案】应选（C）【详解】令()0fx′=，解得驻点123x=±（4）微分方程2(0)xxyyeeλλλλ−′′−=+的特解形式为（）（A）()xxaeeλλ−+（B）()xxaxeeλλ−+（C）()xxxaebeλλ−+（D）2()xxxaebeλλ−+【答案】应选（C）【详解】特征值为λ±，非齐次项中λ±分别与特征根相等，则特解可设为()xxxaebeλλ−+（5）设函数(),()fxgx均有二阶连续导数，满足(0)0,(0)0fg，且(0)(0)0fg′′==，则函数()()zfxgy=在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（）（A）(0)0,(0)0fg′′′′（B）(0)0,(0)0fg′′′′（C）(0)0,(0)0fg′′′′（D）(0)0,(0)0fg′′′′【答案】应选（A）【详解】根据()()0()()0xyzfxgyzfxgy′==⎧⎨′==⎩，()(),()(),()()xxyyxyzfxgyzfxgyzfxgy′′′′′′===对于(0,0)，(0,0)(0)(0)xxzfg′′=，(0)(0),(0)(0)yyxyzfgzfg′′′′==已知(0)0,(0)0fg，(0)(0)0fg′′==第3页共9页根据题意可判断(0)0,(0)0fg′′′′（6）设444000lnsin,lncot,lncosIxdxJxdxKxdxπππ===∫∫∫，则,,IJK的大小关系是（A）IJK（B）IKJ（C）JIK（D）KJI【答案】应选（B）【详解】在区间[0,]4π上，sincoscot,lnxxxx是增函数，所以lnsinlncoslncot,xxx由定积分比较大小的性质可知，应选（B）（7）设A为三阶矩阵，将A的第二列加到第一列得到矩阵B，再交换B的第二行与第三行得到单位矩阵，记12100100110,001001010PP⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠，则A=（） (A) 12PP;    (B) 112PP−;    (C) 21PP;   (D) 121PP−.  【答案】应选(D).  【详解】由初等变换及初等矩阵的性质易知21PAPE=，从而1112121APPPP−−−==，答案应选(D).  （8）设1234(,,,)Aαααα=，若(1,0,1,0)T是方程0AX=的一个基础解系，则*0AX=的基础解系可为（） (A) 12,αα;    (B) 13,αα;    (C) 123,,ααα;   (D) 234,,ααα.  【答案】应选(D).  【详解】由(1,0,1,0)T是方程0AX=的一个基础解系，知()3rA=，从而*()1,0rAA==，于是*0AAAE==，即1234,,,αααα为*0AX=的解.由130αα+=，知13,αα线性相关，由()3rA=，知234,,ααα线性无关，又*()1rA=，从而234,,ααα为*0AX=的基础解系,故应选(D).二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）1012lim()2xxx→+=【答案】2第4页共9页【详解】001112112ln(11)limlim22012lim()22xxxxxxxxxee→→−++−→+===（10）微分方程'cosxyyex−+=满足条件(0)0y=的解为y=【答案】sinxex−【详解】11(cos)(sin)dxdxxxyeCexedxeCx−−−∫∫=+=+∫，由于(0)0y=，所以sinxyex−=（11）曲线0tan(0)4xytdtxπ=≤≤∫的弧长s=【答案】ln(21)+【详解】2401tanln(21)sxdxπ=+=+∫（12）设函数,0(),0,0,0xexfxxλλλ−⎧=⎨≤⎩则()xfxdx+∞−∞=∫【答案】1λ【详解】01()xxfxdxxedxλλλ+∞+∞−−∞==∫∫或者指数函数的数学期望。（13）设平面区域D由直线yx=圆222xyy+=及y轴所组成，则二重积分Dxydσ=∫∫【答案】712【详解】2sin32047sin12Dxyddrcoxdrπθπσθθθ==∫∫∫∫（14）二次型222123123121323(,,)3222fxxxxxxxxxxxx=+++++，则f的正惯性指数为_______. 【答案】应填2.  【详解1】二次型222123123121323(,,)3222fxxxxxxxxxxxx=+++++易经过配方法化为22124yy+，从而正惯性指数为2. 【详解2】本题亦可通过求二次型矩阵的特征值进一步得到正惯性指数为2.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说第5页共9页明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）已知函数203ln(1)()xatdtFxx+=∫，设0lim()lim()0xxFxFx+→+∞→==，试求a的取值范围。解：由lim()0xFx→+∞=，所以至少0a由0lim()0xFx+→=，所以2220331310000ln(1)ln(1)lim()limlimlim033xaaaxxxxtdtxxFxxaxax++++−−→→→→++====∫故231a−，所以1a由lim()0xFx→+∞=，所以220331332322ln(1)ln(1)lim()limlim32121limlim013(31)13(31)xxxxaaaxxatdtxFxxaxxxxaaxxaa→+∞→+∞→+∞−−→+∞→+∞−++====+−+−∫即332a−，所以13a综上113a（16）（本题满分11分）设函数()yyx=由参数方程3311331133xttytt⎧=++⎪⎪⎨⎪=−+⎪⎩确定，求()yyx=的极值和凹凸区间及拐点。解：2211dytdxt−=+，()232241dytdxt=+当1t=时，53x=，13y=−是极小值当1t=−时，1x=−，1y=是极大值当0t=时，13x=，13y=是拐点当0t时，是凸区间当0t时，是凹区间第6页共9页（17）（本题满分10分）设函数(,())zfxygx=，函数f具有二阶连续偏导数，函数()gx可导且在1x=处取得极值(1)1g=，求211xyzxy==∂∂∂。【详解】12()zfyfgxx∂′′′=+∂211121()zfxyfxfgxxy∂′′′′′′=++∂∂因为()gx在1x=处取得极值，所以(1)0g′=所以211111(1,1)(1,1)xyzffxy==∂′′′=+∂∂（18）（本题满分10分）设函数()yx具有二阶导数，且曲线:()lyyx=与直线yx=相切与原点，记α为曲线l在点(,)xy外切线的倾角，若ddydxdxα=，求()yx的表达式。【详解】由题意知(0)0,(0)1yy′==，因为α为曲线l在点(,)xy外切线的倾角，所以tandydxα=，两边同时对x求导数，得222secddydxdxαα=由题知ddydxdxα=，并且22sec1tanαα=+所以得微分方程232(),(0)0,(0)1dydydydxdxdxyy⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪′=⎪⎪⎩此方程是不显含x的微分方程令,dpypypdy′′′==则，代入方程得21dpdyp=+，解得1tan()yyC′=+由(0)1y′=解得14Cπ=，微分方程tan()4yyπ′=+是可分离变量方程，解得sin()4xyCeπ+=由(0)0y=解得1C=。所以2()arcsin24xyxeπ⎛⎞=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠第7页共9页（19）（本题满分10分）①证明对任意正整数n，都有111ln(1)1nnn++成立②设111...ln2nann=+++−，证明数列{}na收敛证明：①先证明01x≤≤，有ln(1)1xxxx++，可以利用导数得到函数单调性，结论是明显的，令1xn=，就得到证明结论。②先证明数列{}na单调递减，1111ln(1)lnln(1)011nnaannnnn+−=−++=−+++再证明数列{}na有下界，11111123111...lnln(1)ln(1)...ln(1)lnln(...)ln021212nnnannnnnnn++=+++−++++++−==所以数列{}na收敛（20）（本题满分11分）一容器内侧是由图中曲线绕y旋转一周而成的曲面，该曲线是由2212()2xyyy+=≥与2211()2xyy+=≤连接而成的。（Ⅰ）容器的容积；（Ⅱ）若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？（长度单位：m，重力加速度为2/gms，水的密度为310/kgm。【详解】（Ⅰ）容积1221211922(1)4VVVVydyππ−=+==−=∫（Ⅱ）223311927101044WFSmgdygdygππ−−=⋅===∫∫（21）（本题满分11分）已知函数(,)fxy具有二阶连续偏导数，且(1,)0,(,1)0,fyfx==(,),Dfxydxdya=∫∫其中{(,)01,01}Dxyxy=≤≤≤≤，计算二重积分(,)xyDxyfxydxdy′′∫∫【详解】根据二重积分的计算()1100(,)(,)xyxyDxyfxydxdyxyfxydydx′′′′=∫∫∫∫()11110000(,)(,)(,)(,)yxyxxxyyfxydyydfxyyfxyfxydy==′′′′′==−∫∫∫1100(,1)(,)(,)xxxfxfxydyfxydy′′′=−=−∫∫则原式=()()11110000(,)(,)xxxfxydydxxfxydxdy′′−=−∫∫∫∫第8页共9页()()()()11111110000000(,)(,)(,)(,)xxxxfxydxdyxdfxydyxfxyfxydxdy==′=−=−=−−∫∫∫∫∫∫()1100(1,)(,)(,)Dfyfxydxdyfxydxdya=−−==∫∫∫∫(22)（本小题满分11分）设向量组123(1,0,1)(0,1,1)(1,3,5)TTT，，ααα===，不能由向量组123(1,1,1)(1,2,3)(3