2013年考研数学二试题及答案

12013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.1、设cos1sin()xxx，()2x，当0x时，()x（）（A）比x高阶的无穷小（B）比x低阶的无穷小（C）与x同阶但不等价的无穷小（D）与x是等价无穷小【答案】（C）【考点】同阶无穷小【难易度】★★【详解】cos1sin()xxx，21cos12xx21sin()2xxx，即1sin()2xx当0x时，()0x，sin()()xx1()2xx，即()x与x同阶但不等价的无穷小，故选（C）.2、已知()yfx由方程cos()ln1xyyx确定，则2lim[()1]nnfn（）（A）2（B）1（C）-1（D）-2【答案】（A）【考点】导数的概念；隐函数的导数【难易度】★★【详解】当0x时，1y.002()12(2)1(2)(0)lim[()1]limlim2lim2(0)12nnxxffxfxfnnffnxxn方程cos()ln1xyyx两边同时对x求导，得1sin()()10xyyxyyy将0x，1y代入计算，得(0)(0)1yf2所以，2lim[()1]2nnfn，选（A）.3、设sin[0,)()2[,2]xfx，0()()xFxftdt，则（）（A）x为()Fx的跳跃间断点（B）x为()Fx的可去间断点（C）()Fx在x处连续不可导（D）()Fx在x处可导【答案】（C）【考点】初等函数的连续性；导数的概念【难易度】★★【详解】2002(0)sinsinsin2Ftdttdttdt，(0)2F，(0)(0)FF，()Fx在x处连续.00()()()lim0xxftdtftdtFx，00()()()lim2xxftdtftdtFx，()()FF，故()Fx在x处不可导.选（C）.4、设函数1111(1)()1lnxexfxxexx，若反常积分1()fxdx收敛，则（）（A）2（B）2（C）20（D）02【答案】（D）【考点】无穷限的反常积分【难易度】★★★【详解】11()()()eefxdxfxdxfxdx由1()fxdx收敛可知，1()efxdx与()efxdx均收敛.1111()(1)eefxdxdxx，1x是瑕点，因为111(1)edxx收敛，所以1123111()(ln)lneeefxdxdxxxx，要使其收敛，则0所以，02，选D.5、设()yzfxyx，其中函数f可微，则xzzyxy（）（A）2()yfxy（B）2()yfxy（C）2()fxyx（D）2()fxyx【答案】（A）【考点】多元函数的偏导数【难易度】★★【详解】22()()zyyfxyfxyxxx，1()()zfxyyfxyyx221[()()][()()]xzzxyyfxyfxyfxyyfxyyxyyxxx11()()()()2()fxyyfxyfxyyfxyyfxyxx，故选（A）.6、设kD是圆域22(,)1Dxyxy位于第k象限的部分，记()(1,2,3,4)kkDIyxdxdyk，则（）（A）10I（B）20I（C）30I（D）40I【答案】（B）【考点】二重积分的性质；二重积分的计算【难易度】★★【详解】根据对称性可知，130II.22()0DIyxdxdy（0yx），44()0DIyxdxdy（0yx）因此，选B.7、设A、B、C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则（）（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价4（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价（D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价【答案】（B）【考点】等价向量组【难易度】★★【详解】将矩阵A、C按列分块，1(,,)nA，1(,,)nC由于ABC，故111111(,,)(,,)nnnnnnbbbb即1111111,,nnnnnnnbbbb即C的列向量组可由A的列向量组线性表示.由于B可逆，故1ACB，A的列向量组可由C的列向量组线性表示，故选（B）.8、矩阵1111aabaa与20000000b相似的充分必要条件是（）（A）0,2ab（B）0,ab为任意常数（C）2,0ab（D）2,ab为任意常数【答案】（B）【考点】矩阵可相似对角化的充分必要条件【难易度】★★【详解】题中所给矩阵都是实对称矩阵，它们相似的充要条件是有相同的特征值.由20000000b的特征值为2，b，0可知，矩阵1111aAabaa的特征值也是2，b，0.因此，221111220224011020aaEAababaaaaa0a5将0a代入可知，矩阵10100101Ab的特征值为2，b，0.此时，两矩阵相似，与b的取值无关，故选（B）.二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.9、10ln(1)lim(2)xxxx.【答案】12e【考点】两个重要极限【难易度】★★【详解】011ln(1)1ln(1)1ln(1)1ln(1)1(1)(1)lim(1)000ln(1)ln(1)lim(2)lim[1(1)]limxxxxxxxxxxxxxxxxxxeexx其中，20000111ln(1)ln(1)11lim(1)limlimlim22(1)2xxxxxxxxxxxxxxx故原式=12e10、设函数1()1xtfxedt，则()yfx的反函数1()xfy在0y处的导数0ydxdy.【答案】111e【考点】反函数的求导法则；积分上限的函数及其导数【难易度】★★【详解】由题意可知，(1)0f610111()111xxyxdydxdxdxfxedxdydydyee.11、设封闭曲线L的极坐标方程方程为cos3()66r，则L所围平面图形的面积是.【答案】12【考点】定积分的几何应用—平面图形的面积【难易度】★★【详解】面积622666000611cos61sin6()cos3()222612Srddd12、曲线2arctan,ln1xtyt上对应于1t点处的法线方程为.【答案】ln204yx【考点】由参数方程所确定的函数的导数【难易度】★★★【详解】由题意可知，1222211(1)22/11/1ttdydydtttdxdxdtt，故11tdydx曲线对应于1t点处的法线斜率为111k.当1t时，4x，ln2y.法线方程为ln2()4yx，即ln204yx.13、已知321xxyexe，22xxyexe，23xyxe是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程满足条件00xy，01xy的解为y.【答案】32xxxyeexe7【考点】简单的二阶常系数非齐次线性微分方程【难易度】★★【详解】312xxyyee，23xyye是对应齐次微分方程的解.由分析知，*2xyxe是非齐次微分方程的特解.故原方程的通解为3212()xxxxyCeeCexe，12,CC为任意常数.由00xy，01xy可得11C，20C.通解为32xxxyeexe.14、设()ijAa是3阶非零矩阵，A为A的行列式，ijA为ija的代数余子式，若0(,1,2,3)ijijaAij，则A.【答案】-1【考点】伴随矩阵【难易度】★★★【详解】**0TTijijijijaAAaAAAAAAAE等式两边取行列式得230AAA或1A当0A时，00TAAA（与已知矛盾）所以1A.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、（本题满分10分）当0x时，1coscos2cos3xxx与nax为等价无穷小，求n和a的值.【考点】等价无穷小；洛必达法则【难易度】★★★【详解】00cos6cos4cos2111coscos2cos34limlimnnxxxxxxxxaxax1003cos6cos4cos26sin64sin42sin2limlim44nnxxxxxxxxaxanx82036cos616cos44cos2lim4(1)nxxxxannx故20n，即2n时，上式极限存在.当2n时，由题意得001coscos2cos336cos616cos44cos236164limlim188nxxxxxxxxaxaa7a2,7na16、（本题满分10分）设D是由曲线13yx，直线xa(0)a及x轴所围成的平面图形，xV，yV分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若10yxVV，求a的值.【考点】旋转体的体积【难易度】★★【详解】根据题意，15523330033()55aaxVxdxxa1773330066277aayVxxdxxa.因10yxVV，故753363107775aaa.17、（本题满分10分）设平面区域D由直线3xy，3yx，8xy围成，求2Dxdxdy【考点】利用直角坐标计算二重积分【难易度】★★【详解】根据题意3286yxxxyy，16328xyxyxy故23682220233xxxxDxdxdydxxdydxxdy264340228132416()12833333xxx918、（本题满分10分）设奇函数()fx在[1,1]上具有二阶导数，且(1)1f，证明：（Ⅰ）存在(0,1)，使得()1f；（Ⅱ）存在(1,1)，使得()()1ff.【考点】罗尔定理【难易度】★★★【详解】（Ⅰ）由于()fx在[1,1]上为奇函数，故(0)0f令()()Fxfxx，则()Fx在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，且(1)(1)10Ff，(0)(0)00Ff.由罗尔定理，存在(0,1)，使得()0F，即()1f.（Ⅱ）考虑()()1(()())(())xxxxfxfxefxfxeefxe[()]0xxefxe令()()xxgxefxe，由于()fx是奇函数，所以()fx是偶函数，由（Ⅰ）的结论可知，()()1ff，()()0gg.由罗尔定理可知，存在(1,1)，使得()0g，即()()1ff.19、（本题满