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学校________________班级________________姓名_________________密封线内不能答题房山区2022-2023学年度第一学期诊断性评价高三数学第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合{2012}A=−，，，，2{|1}Bxx=≤，则AB=∩（A）{101}−，，（B）{01}，（C）{201}−，，（D）{2012}−，，，（2）若复数z满足(1i)2iz+=，则在复平面内z对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（3）已知数列{}na满足12nnaa+=，12a=，则数列{}na的前四项和4S的值为（A）1516（B）1516−（C）154（D）154−（4）已知函数xxxf241)(−=，则)(xf（A）图象关于原点对称，且在[0)+∞，上是增函数（B）图象关于原点对称，且在[0)+∞，上是减函数（C）图象关于y轴对称，且在[0)+∞，上是增函数（D）图象关于y轴对称，且在[0)+∞，上是减函数（5）若角α、β是锐角三角形的两个内角，则下列各式中一定成立的是（A）coscosαβ（B）sinsinαβ（C）cossinαβ（D）cossinαβ（6）设平面α与平面β相交于直线l，直线m在平面α内，直线n在平面β内，且ml⊥.则“αβ⊥”是“mn⊥”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）若抛物线22(0)ypxp=上一点M到抛物线的准线和对称轴的距离分别为5和3，则p的值为（A）1（B）2（C）1或9（D）2或9（8）已知半径为1的动圆P经过坐标原点，则圆心P到直线()20mxym∈−=+R的距离的最大值为（A）1（B）2（C）3（D）4（9）某教学软件在刚发布时有100名教师用户，发布5天后有1000名教师用户.如果教师用户人数)(tR与天数t之间满足关系式：0()ektRtR=，其中k为常数，0R是刚发布时的教师用户人数，则教师用户超过20000名至少经过的天数为（A）9（B）10（C）11（D）12（参考数据：lg20.3010≈）（10）在△ABC中,4BC=,3ABAC=,则BCBA⋅��������的取值范围为（A）[3,12]−（B）3,12−（）（C）[12,24]（D）12,24（）高三数学第2页（共6页）高三数学第1页（共6页）学校________________班级________________姓名_________________密封线内不能答题房山区2022-2023学年度第一学期诊断性评价高三数学第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合{2012}A=−，，，，2{|1}Bxx=≤，则AB=∩（A）{101}−，，（B）{01}，（C）{201}−，，（D）{2012}−，，，（2）若复数z满足(1i)2iz+=，则在复平面内z对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（3）已知数列{}na满足12nnaa+=，12a=，则数列{}na的前四项和4S的值为（A）1516（B）1516−（C）154（D）154−（4）已知函数xxxf241)(−=，则)(xf（A）图象关于原点对称，且在[0)+∞，上是增函数（B）图象关于原点对称，且在[0)+∞，上是减函数（C）图象关于y轴对称，且在[0)+∞，上是增函数（D）图象关于y轴对称，且在[0)+∞，上是减函数（5）若角α、β是锐角三角形的两个内角，则下列各式中一定成立的是（A）coscosαβ（B）sinsinαβ（C）cossinαβ（D）cossinαβ（6）设平面α与平面β相交于直线l，直线m在平面α内，直线n在平面β内，且ml⊥.则“αβ⊥”是“mn⊥”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）若抛物线22(0)ypxp=上一点M到抛物线的准线和对称轴的距离分别为5和3，则p的值为（A）1（B）2（C）1或9（D）2或9（8）已知半径为1的动圆P经过坐标原点，则圆心P到直线()20mxym∈−=+R的距离的最大值为（A）1（B）2（C）3（D）4（9）某教学软件在刚发布时有100名教师用户，发布5天后有1000名教师用户.如果教师用户人数)(tR与天数t之间满足关系式：0()ektRtR=，其中k为常数，0R是刚发布时的教师用户人数，则教师用户超过20000名至少经过的天数为（A）9（B）10（C）11（D）12（参考数据：lg20.3010≈）（10）在△ABC中,4BC=,3ABAC=,则BCBA⋅��������的取值范围为（A）[3,12]−（B）3,12−（）（C）[12,24]（D）12,24（）高三数学第2页（共6页）高三数学第1页（共6页）密封线内不能答题第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）函数xxxflg11)(+−=的定义域是____．（12）341xx−（）的展开式中常数项是____．（用数字作答）（13）若双曲线221xym−=的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为____．（14）若函数2||()=24xxmfxxmxmxm−+，≤，，存在最小值，则m的一个取值为___；m的最大值为____．（15）函数()0.03sin(1000π)0.02(sin2000π)0.01sin(3000π)ftttt=++的图象可以近似表示某音叉的声音图象.给出下列四个结论：①1500是函数()ft的一个周期；②()ft的图象关于直线1500t=对称；③()ft的图象关于点1(0)500，对称；④()ft在11,60006000−上单调递增.其中所有正确结论的序号是____．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题14分）在△ABC中，D是边AC上一点，1CD=，2BD=，3AB=，1cos8BDC∠=.（Ⅰ）求AD的长；（Ⅱ）求△ABC的面积.（17）（本小题14分）如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD，Q为棱PD的中点.（Ⅰ）求证：//PB平面ACQ；（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，求：直线PC与平面ACQ所成角的正弦值，以及点P到平面ACQ的距离.条件①：AQPC⊥；条件②：AQ⊥平面PCD；条件③：62CQ=.（把此图用黑签字笔画在答题卡上）高三数学第4页（共6页）高三数学第3页（共6页）密封线内不能答题第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）函数xxxflg11)(+−=的定义域是____．（12）341xx−（）的展开式中常数项是____．（用数字作答）（13）若双曲线221xym−=的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为____．（14）若函数2||()=24xxmfxxmxmxm−+，≤，，存在最小值，则m的一个取值为___；m的最大值为____．（15）函数()0.03sin(1000π)0.02(sin2000π)0.01sin(3000π)ftttt=++的图象可以近似表示某音叉的声音图象.给出下列四个结论：①1500是函数()ft的一个周期；②()ft的图象关于直线1500t=对称；③()ft的图象关于点1(0)500，对称；④()ft在11,60006000−上单调递增.其中所有正确结论的序号是____．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题14分）在△ABC中，D是边AC上一点，1CD=，2BD=，3AB=，1cos8BDC∠=.（Ⅰ）求AD的长；（Ⅱ）求△ABC的面积.（17）（本小题14分）如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD，Q为棱PD的中点.（Ⅰ）求证：//PB平面ACQ；（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，求：直线PC与平面ACQ所成角的正弦值，以及点P到平面ACQ的距离.条件①：AQPC⊥；条件②：AQ⊥平面PCD；条件③：62CQ=.（把此图用黑签字笔画在答题卡上）高三数学第4页（共6页）高三数学第3页（共6页）学校________________班级________________姓名_________________密封线内不能答题（18）（本小题14分）为弘扬中华优秀传统文化，营造良好的文化氛围，增强文化自觉和文化自信，某区组织开展了中华优秀传统文化知识竞答活动，该活动有单人赛和PK赛，每人只能参加其中的一项.据统计，中小学生参与该项知识竞答活动的人数共计4.8万，其中获奖学生情况统计如下：奖项组别单人赛PK赛获奖一等奖二等奖三等奖中学组4040120100小学组3258210100（Ⅰ）从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自中学组的概率；（Ⅱ）从中学组和小学组获奖者中各随机抽取1人，以X表示这2人中PK赛获奖的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）从获奖学生中随机抽取3人，设这3人中来自中学组的人数为ξ，来自小学组的人数为η，试判断)(ξD与)(ηD的大小关系.（结论不要求证明）（19）（本小题15分）已知函数2()(1)e(2)xfxaxx=−+−()a∈R．（Ⅰ）当0=a时，求曲线()yfx=在点1=x处的切线方程；（Ⅱ）求函数)(xf的单调区间；（Ⅲ）若函数)(xf恰有一个零点，则a的取值范围为.（只需写出结论）（20）（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=经过点(23)P，，且点P到两个焦点的距离之和为8.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线:lykxm=+与椭圆C分别相交于A，B两点，直线PA，PB分别与y轴交于点MN，.试问是否存在直线l，使得线段MN的垂直平分线经过点P，如果存在，写出一条满足条件的直线l的方程，并证明；如果不存在，请说明理由.（21）（本小题14分）若对+Nmn∀∈，，当mn−∈A时，都有mnaaA−∈，则称数列{}na受集合A制约.（Ⅰ）若=2nna，判断{}na是否受+N制约，{}na是否受区间[01]，制约；（Ⅱ）若12=1=3aa，，{}na受集合{2}制约，求数列{}na的通项公式；（Ⅲ）若记p：“{}na受区间[1]，2制约”,q：“{}na受集合{2}制约”,判断p是否是q的充分条件，p是否是q的必要条件，并证明你的结论.高三数学第6页（共6页）高三数学第5页（共6页）学校________________班级________________姓名_________________密封线内不能答题（18）（本小题14分）为弘扬中华优秀传统文化，营造良好的文化氛围，增强文化自觉和文化自信，某区组织开展了中华优秀传统文化知识竞答活动，该活动有单人赛和PK赛，每人只能参加其中的一项.据统计，中小学生参与该项知识竞答活动的人数共计4.8万，其中获奖学生情况统计如下：奖项组别单人赛PK赛获奖一等奖二等奖三等奖中学组4040120100小学组3258210100（Ⅰ）从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自中学组的概率；（Ⅱ）从中学组和小学组获奖者中各随机抽取1人，以X表示这2人中PK赛获奖的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）从获奖学生中随机抽取3人，设这3人中来自中学组的人数为ξ，来自小学组的人数为η，试判断)(ξD与)(ηD的大小关系.（结论不要求证明）（19）（本小题15分）已知函数2()(1)e(2)xfxaxx=−+−()a∈R．（Ⅰ）当0=a时，求曲线()yfx=在点1=x处的切线方程；（Ⅱ）求函数)(xf的