数学参考答案及解析

2023届高三（9月）起点考试数学参考答案一、选择题：题号12345678答案DCCBABAD8.【解析】①计第一步取出两个白球为事件A，则P(A)=16，P(X=0|A)=1,P(X=1|A)=P(X=2|A)=0②计第一步取出两球为一黑一白为事件B，则P(B)=23，P(X=0|B)=12，P(X=1|B)=12，P(X=2|B)=0③计第一步取出两个黑球为事件C，则P(C)=16，P(X=0|C)=16，P(X=1|C)=23,P(X=2|C)=16故由全概率公式，P(X=0)=P(A)P(X=0|A)+P(B)P(X=0|B)+P(C)P(X=0|C)=16×1+23×12+16×16=1936，同理P(X=1)=1636，P(X=2)=136∴E(X)=12.另解：在第一步完成之后，X服从超几何分布，故E(X)=P(A)∙2×04＋P(B)∙2×14+P(C)∙2×24=12二、选择题：题号9101112答案BCACDBCDBCD12.【解析】由导数的几何意义及)(xf的对称性，)(xf在x和x处的切线也关于原点对称，其斜率总相等，故)()(xgxg，)(xg是偶函数，)2(xg对称轴为2x，A错；由)(xg的对称性，)(xg在x和x处的切线关于纵轴对称，其斜率互为相反数，故)()(xgxg，)(xg为奇函数，又定义域为R，0)0(g，B对；4)4()4()(xxfxh，由)(xf为奇函数知xxfxu)()(为奇函数，图像关于（0,0）对称，)(xh可以看作由)(xu按向量)4,4(平移而得，故C对；由C选项知，当821xx时，8)()(21xhxh，由等差数列性质8)()(8111111ahahaa，，以此类推倒序相加，D正确。三、填空题：13.−1314.80�3�215.(0,3]16.8616.【解析】：正ABC中，M为AC的中点，则BMAC，而PA平面ABC，BM平面ABC，即BMPA，而PAACA，,PAAC平面PAC，则BM平面PAC，PM平面PAC，有BMPM，又PAAB，因此，RtPBM△与RtPAB的斜边PB中点到点A，B，M，P的距离相等，即三棱锥PABM外接球球心为PB中点，从而，点O是三棱锥PABM外接球球心，设球O的半径为R，有224Ra，PAM△的外接圆圆心为PM的中点，设为F，连接OF，则OF平面PAF，如图，则有32OFa，即O到平面PAC的距离为32a，因此D到平面PAC距离的最大值为22344aa，又14242PACSaa△，即有2213444334aaa，解得22a，2246Ra，6R，所以球O的体积为34863R.故答案为：86四、解答题：17.解：(1)∵an=−2Sn−1Sn,∴Sn−Sn−1=−2Sn−1Sn∴Sn−1−Sn=2SnSn−1∴1Sn−1Sn−1=2∴数列1Sn为等差数列，且1Sn=1S1+2(n−1)=1+2n−2=2n−1…………3分又∵n=1时，a1=S1=2×1−1=1∴Sn=2n-1(n∈N∗)∴an=1,n=1−2(2n−1)(2n−3),n≥2………………5分(2)1Sn=2n−1∴nnnb2)12(nnnnnT2)12(2)32(23211211322)12(2)32(23212nnnnnT两式相减得11311432)12(21)21(222)12(2222nnnnnnnT1122)32(62)12(282nnnnn，62)32(1nnnT…………10分18..解：（1）由题意，3SO，3OBOA，取OA的中点D，连接BDCD,。则SOCD//，且2332121SOCD，SO平面AOB，CD平面AOB，CBD即为直线BC与平面AOB所成角46sinBCCD，从而6BC，由勾股定理得215BD在BOD中，222415433BDODOB，所以OAOB………3分SO平面AOB，OBSO，由OBSOOBOAOB平面SOA，所以SABO…………6分（2）以O为原点，OSOAOB,,分别为zyx,,轴建立空间直角坐标系则0,0,3B，1,0,0T，23,23,0C，0,30，A，得1,0,3BT，0,3,3AB，21,23,0TC设平面ABT、CBT的法向量分别为222111,,,,,zyxnzyxm。由1111111130330300xyxzyxzxABmBTm，令11x得3,1,1m，由2222222233021230300yzxzzyzxTCnBTn，令12x得3,1,1n。所以53,cosnmnmnm，…………10分则二面角CBTA的正弦值为54…………12分19.解：（1）由正弦定理有22222cba，从而22221bac，则ABababcbaCsin4sin42cos222，所以CACACABCAsincoscossinsinsincossin4，即有CACAsincoscossin3，ACtan3tan………………6分（2）由（1）ACtan3tan，有1tan3tan41tantantantantantan2AACACACAB，则AAAAAACBAtan2)1tan3(tan1tan21tan3tan1tan3tan2tan122,……10分故3tan1tan223tan1tan23tan3tan2tan1AAAACBA，当且仅当AAtan1tan，即4,1tanAA时取等。所以CBAtan3tan2tan1的最小值为3………………12分20.解：（1）�=��+�…………2分（2）令�=�，则�=��+�，根据已知数据表得到如下表：�14916253649�=�1234567�0479111213�=1+2+3+4+5+6+77=4，�=8…………4分�=283−7×4×8140−7×16=5928…………6分�=�−��=−37，故�关于�的经验回归方程y=5928�−37…………7分令x=100,y=28914≈20.64（cm）………………8分（3）这7天中幼苗高度大于y=8的有4天，X服从超几何分布,其中N=7,M=4,n=4P(X=1)=435；P(X=2)=1835；P(X=3)=1235；P(X=4)=135；所以随机变量�的分布列为：………………10分随机变量X的期望值E(X)=4×47=167……………………12分21.解：（1）因为双曲线C与已知双曲线有相同的渐近线，设双曲线C的标准方程为�2−4�2=�代入点A坐标，解得�=4所以双曲线C的标准方程为�24−�2=1………………4分（2）（i）当直线EF斜率存在时，设mkxyEF:设��1，�1��2，�2，联立�=��+�与双曲线�24−�2=1化简得4�2−1�2+8���+4�2+1=0…………5分△=8��2−44�2+44�2−10，即4�2−�2−10，则有�1+�2=−8��4�2−1�1�2=4�2+44�2−1，又�1�2=��1+���2+�=�2�1�2+���1+�2+�2因为��⋅��=(�1−2)(�2−2)+�1�2=0…………6分X1234�43518351235135所以�2+1⋅�1�2+��−2⋅�1+�2+�2+4=0，所以�2+1⋅4�2+44�2−1+��−2⋅−8��4�2−1+�2+4=0，化简，得3�2+16��+20�2=0，即(3�+10�)(�+2�)=0所以�1=−2�，�2=−103�，且均满足4�2−�2−10，当�1=−2�时，直线�的方程为�=��−2，直线过定点2，0，与已知矛盾当�2=−103�时，直线�的方程为�=��−103，过定点103，0…………9分(ii)当直线EF斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE：2xy，与双曲线C方程联立解得310FExx，此时EF也过点M103，0综上，直线EF过定点M103，0．……………10分由于EFDG，所以点G在以DM为直径的圆上，H为该圆圆心，||GH为该圆半径，所以存在定点)0,38(H，使||GH为定值32.…………12分22.解：（1）当1k时，)0(1)(,ln)(xxexfxexfxx…………1分由于01)1(,02)21(efef，故存在)1,21(0x，使得01)(000xexfx由基本初等函数性质知，)(xf在），（0递增，所以当00xx时，0)(xf，)(xf递减；当0xx时，0)(xf，)(xf递增，所以0000min1ln)()]([0xxxexfxfmx…………3分设函数01)(),1,21(,1)(22xxxgxxxxg，故)(xg在)1,21(递减，25)21()(gxg，所以25m．…………6分（2）方法一：)1(1)(2xkekkxkexfkxkx…………7分当ek1时，由基本初等函数性质知，)(xf在），（0递增，0)1(1111)1()1(,01)1(112kkkkkekkfkekfk所以存在),0(1x使得0)1()(1211xkekxfkx，即：1211xkekx0lnln211xkkx，kkxkxkln2ln121…………9分当10xx时，0)(xf，)(xf递减；当1xx时，0)(xf，)(xf递增……10分)ln21(1)ln1(1ln1ln)()]([121211211211min1kkxkxkxkxkkxxkkxexfxfkx)ln1(2)ln22(12kkkkkk因为ek1，故1lnk，0)(,0)]([minxfxf．…………12分方法二：0ln0lnxkekxekxkx，由于ek1，所以xeexkexekxln1ln1，故只需证0ln11xeexe，即0ln1xeexe，设xeeexgxeexgxexe111)(,ln)(，)(xg在),0(增，且0)(eg，故),0(ex时0)(xg，)(xg减；),(ex时0)(xg，)(xg增，所以0)()(minegxg，0)(xg，原不等式成立．方法三：证明不等式xxeeekexekxln111（如图）．方法四：kxekxekxkxln0ln，注意到kxey与kxyln互为反函数，其图像关于xy对称，故只需证当ek1时，kxxekxln．