北京丰台区2023年高三上学期期末数学答案

高三数学答案第1页（共6页）丰台区2022～2023学年度第一学期期末练习参考答案高三数学2023.01一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．题号12345678910答案BCBADCACBC二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．[10)(0)−+,,12．2−；513．(04),14．415．①④三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.（本小题13分）（Ⅰ）证明：连接1CD，交1DC于点M，依题意知，四边形11CDDC为正方形，所以M是线段1CD的中点，连接EM，因为E为棱BC的中点，所以1//EMBD，因为EM平面1DCE，1BD平面1DCE，所以1//BD平面1DCE.………………5分（Ⅱ）解：设正方体1111ABCDABCD−的棱长为1,以D为坐标原点，DA，DC，1DD所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则(000)D,,，(110)B,,，1(001)D,,，1(011)C,,，(010)C,,，因为点F是线段1BD的中点，E为棱BC的中点，所以111()222F,,，1(10)2E,,，zyxDBCAFED1C1B1A1MDBCAFED1C1B1A1高三数学答案第2页（共6页）所以111()222DF=,,，1(011)DC=,,，1(10)2DE=,,.设()xyz,,u=是平面1DCE的一个法向量，则1010.2DCyzDExy=+==+=,uu取1y=，则2x=−，1z=−.于是(121)−−,,u=是平面1DCE的一个法向量.设直线DF与平面1DCE所成角为，所以111222sincos3362DFDFDF−−====,uuu，所以直线DF与平面1DCE所成角的正弦值为23.………………13分17.（本小题14分）解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理sinsinabAB=，得sinsinaBbA=，因为2sin2aBb=所以2sin2bAb=，因为0b，所以2sin2=A，因为0πA，所以π4A=或3π4A=；………………7分（Ⅱ）若选择①，在△ABC中，0πC，因为10cos10C=−，所以310sin10C=．又因为π4A=，πABC++=所以ππsin=sin()sincoscossin44BACCC+=[phone]()()2102105=−+=高三数学答案第3页（共6页）55=，在△ABC中，由正弦定理可得31022sin106n5si5bCcB===，所以112sin2266222ABCSbcA△.………………14分若选择②，在△ABC中，因为sinsinabAB=，所以sinsinbaAB=，因为=2a，=22b，2sin2A=，所以2222sin12==B，因为(0π)B,，所以π2B=，所以222bac，所以2224cba=−=，所以2c=，所以112sin2222222ABCSbcA△．18.（本小题14分）解：（Ⅰ）由题意10(0.0040.0120.0140.0240.028)1a+++++=所以018.0=a；………………3分（Ⅱ）记“一位非遗短视频粉丝的年龄不超过40岁”为事件A，()10(0.0040.0120.014)0.3PA=++=，所以估计一位非遗短视频粉丝的年龄不超过40岁的概率为0.3.X可能取值为0,1,2.49.07.0)0(202===CXP；42.07.03.0)1(12===CXP；09.03.0)2(222===CXP.所以X的分布列为X012P0.490.420.096.009.0242.0149.00)(=++=XE.……………11分（或因为~(20.3)XB,，所以6.03.02)(==XE）（Ⅲ）nm.………………14分19.（本小题15分）高三数学答案第4页（共6页）解：（Ⅰ）由题意得222222acaabc===+,,,解得24a=，22b=.所以椭圆E的方程是22142xy+=.………………5分（Ⅱ）因为(20)A−,，(2)Pm,，所以直线AP的方程为(2)4myx=+（0m）.由22(2)424myxxy=++=得2222(8)44320mxmxm+++−=，即22(2)[(8)(216)]0xmxm+++−=.因为点A的横坐标为2−，所以点C的横坐标为222168mxm−=−+，代入直线AP的方程可得点C的纵坐标为2222168(2)488mmmymm−=−+=++，即2222168()88mmCmm−−++,.又点B的坐标为(2,0)，所以222282821628mmkmmm+==−−−−+，又因为12mk=，所以122()12mkkm=−=−.即12kk为定值1−.………………15分20.（本小题15分）解：（Ⅰ）由题意得，1()cosfxxx=+，所以(1)1cos1f=+，又(1)sin1f=，所以曲线()yfx=在点(1(1))f,处的切线方程为sin1(1cos1)(1)yx−=+−，即(1cos1)sin1cos11yx=++−−；………………4分（Ⅱ）因为1()cosfxxx=+，因为1yx=和cosyx=均在区间因为[1e],上单调递减，所以()fx在区间[1e],上单调递减，因为(1)1cos10f=+，11211(e)cosecos0ee3e2f=++=−，高三数学答案第5页（共6页）所以()0fx=在(1e),上有且只有一个零点，记为0x，所以0[1)xx,时，()0fx；0(e]xx,时，()0fx，所以()fx在区间0[1)x,上单调递增，在区间0(e]x,上单调递减.因为(1)sin1(e)1sineff==+,，所以()fx在区间[1e],上的最小值为sin1.………………10分（Ⅲ）函数()fx的定义域为{|0}xx，由（Ⅱ）知，()fx在区间[1e],上的最小值sin10，又当(e)x+,时，()lnesin1sin0fxxx+=+，所以()fx在区间[1)+,上没有零点；当(01)x,时，1()cos0fxxx=+，所以()fx在区间(01),上单调递增，因为11()1sin0(1)sin10eeff=−+=,，所以()fx在区间(01),上仅存在一个零点；综上所述，函数()fx有且仅有一个零点.………………15分21.（本小题14分）解：（Ⅰ）数列A是(2)P数列，数列B不是(2)P数列.………………3分（Ⅱ）不存在正实数，使得数列{}nb是()P数列.说明理由如下：假设存在正实数，使得数列{}nb是()P数列.则1nnbb++，*nN.因为131nnbbnn+=++−+，所以1213131nnbbnnnnn+−=+−+=+++，当21n时，1nnbb+−，这与假设矛盾.所以不存在正实数，使得数列{}nb是()P数列.………………7分（Ⅲ）因为数列{}na是(1)P数列，则11nnaa++，所以12112(1)mmmaaaamm−−+++−所以11mmaa−−，2112mmmaaa−−−−，3213mmmaaa−−−−，……，231(2)maaam−−−，121(1)maaam−−−高三数学答案第6页（共6页）所以123(1)[123(1)]2mmmmmaaaamamma−++++−++++−=−即(1)1502mmmma−−所以150122mmam+−，所以15031150312302222mmmammm++−=−，所以mam+的最小值不小于30.假设30mam+=，必有150313022mm+−，解得25123m，因为*mN，所以9101112m=,,,，当m=9时，ma=21，存在满足条件的数列123456789101415161718192021aaaaaaaaa=========,,,,,,,,；当m=10时，ma=20，存在满足条件的数列123456789106121314151617181920aaaaaaaaaa==========,,,,,,,,,；当m=11时，ma=19，存在满足条件的数列12345678951011121314151617aaaaaaaaa=========,,,,,,,,,10111819aa==,；当m=12时，ma=18，存在满足条件的数列1234567891078910111213141516aaaaaaaaaa==========,,,,,,,,,,11121718aa==,.以上都是=30mam+的充分条件.所以mam+的最小值为30，此时ma的所有可能取值为18，19，20，21.…14分