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高三数学试卷第1页(共16页)江阴市普通高中2022年秋学期高三阶段测试卷数学2023.1注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分．一、单项选择题：(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．)1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x－1＞0}，B＝{x|0＜x＜2}，则(CRA)∩B＝(▲)A．{x|0＜x≤1}B．{x|x≤2}C．{x|x≤1}D．{x|1≤x＜2}2．已知i为虚数单位，复数z＝(2＋i3)(1＋ai)为纯虚数，则|z|＝(▲)A．0B．12C．2D．53．给出下列四个命题，其中正确命题为(▲)A．a＞b是3a＞3b的充分不必要条件B．α＞β是cosα＜cosβ的必要不充分条件C．a＝0是函数f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数的充要条件D．f(2)＜f(3)是函数f(x)＝x在[0，＋∞)上单调递增的既不充分也不必要条件则a＝0，则为充要条件，故答案选C．高三数学试卷第2页(共16页)4．为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境，某学校修建了若干“朗读亭”．如图所示，该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，若正六棱锥与六棱柱的高的比值为1：3，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积之比为(▲)A．78B．4324C．19D．1275．函数f(x)＝3x－3－xx2的图象大致为(▲)ABCD高三数学试卷第3页(共16页)6．已知一个等比数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为P，Q，R，则下列等式正确的是(▲)A．P＋Q＝RB．Q2＝PRC．(P＋Q)－R＝Q2D．P2＋Q2＝P(Q＋R)7．在平面直角坐标系xOy中，若满足x(x－k)≤y(k－y)的点(x，y)都在以坐标原点为圆心，2为半径的圆及其内部，则实数k的取值范围是(▲)A．－22≤k≤22B．－2≤k≤2C．－22≤k≤2D．[－2，0)∪(0，2]8．设a＝π6，b＝cos1，c＝sin13，这三个数的大小关系为(▲)A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．a＜c＜b【答案】C高三数学试卷第4页(共16页)二、多项选择题：(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．请将答案填写在答题卡．．．相应的位置上．．．．．．．)9．若x＞0，y＞0，且xy－(x＋y)＝1，则下列结论正确的是(▲)A．x＋y≥2(2＋1)B．xy≥(2＋1)2C．x＋y≤(2＋1)2D．xy≤2(2＋1)10．已知一只钟表的时针OA与分针OB长度分别为3和4，设0点为0时刻，△OAB的面积为S，时间t(单位：时)，则以下说法中正确的选项是(▲)A．时针OA旋转的角速度为－π6rad/hB．分针OB旋转的角速度为2πrad/hC．一小时内(即t∈[0，1)时)，∠AOB为锐角的时长是511hD．一昼夜内(即t∈[0，24)时)，S取得最大值为44次高三数学试卷第5页(共16页)11．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以A1，A2和A3表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是(▲)A．事件B与事件Ai(i＝1，2，3)相互独立B．P(A1B)＝845C．P(B)＝13D．P(A2|B)＝631高三数学试卷第6页(共16页)12．已知P为抛物线C：y2＝2px(p＞0)上的动点，Q(4，－4)在抛物线C上，过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，M(4，－3)，N(－1，1)，则(▲)A．|PM|＋|PF|的最小值为5B．若线段AB的中点为M．则△NAB的面积为22C．若NA⊥NB，则直线的斜率为2D．过点E(1，2)作两条直线与抛物线C分别交于点G，H，满足直线GH的斜率为－1，则EF平分∠GEH高三数学试卷第7页(共16页)三、填空题：(本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．)13．在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝2x＋10与双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线平行，且双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为▲．14．(1－2x)5(1＋3x)4的展开式中x的升幂排列的第3项为▲．高三数学试卷第8页(共16页)15．已知函数f(x)＝a(x－5)2＋6lnx(a∈R)，曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0，6)，则函数f(x)的极小值为▲．16．(第一空2分，第二空3分)已知向量m＝(1，1)，向量n与向量m的夹角为3π4，m·n＝－1，则向量n＝▲；若向量n与向量q＝(1，0)的夹角为π2，向量p＝(cosx，2cos2(π3－x2))，其中0＜x＜a，当|n＋p|∈[22，52)时，实数a的取值范围为▲．高三数学试卷第9页(共16页)四、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．)17．(本题满分10分)已知在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且交BC于D．(1)用正弦定理证明：ABAC＝BDDC；(2)若∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，求BD．【解析】18．(本题满分12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝3n－1，令cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn．高三数学试卷第10页(共16页)【解析】19．(本题满分12分)天和核心舱是我国目前研制的最大航天器，同时也是我国空间站的重要组成部分．为了能顺利的完成航天任务，挑选航天员的要求非常严格．经过统计，在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标ξ服从正态分布N(90，100)，航天员在此项指标中的要求为ξ≥110．某学校共有2000名学生．为了宣传这一航天盛事，特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动．学生首先要进行上述指标的筛查，对于符合要求的学生再进行4个环节选拔，且仅在通过一个环节后，才能进行到下一个环节的选拔．假设学生通过每个环节的概率均为14，且相互独立．(1)设学生甲通过筛查后在后续的4个环节中参与的环节数量为X，请计算X的分布列与数学期望；(2)请估计符合该项指标的学生人数(结果取整数)．以该人数为参加航天员选拔活动的名额，请计算最终通过学校选拔的人数Y的期望值．参考数值：P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ＜X＜μ＋2a)＝0.9545，P(μ－3σ＜X＜μ＋3a)＝0.9973．【解析】高三数学试卷第11页(共16页)20．(本题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，AP⊥DP，AE＝1，AP＝2，DP＝23，CD＝3，AB∥CD，AB⊥平面PAD，点M满足→AM＝λ→AD(0＜λ＜1)．(1)若λ＝14，求证：平面PBM⊥平面PCM；(2)设平面MPC与平面PCD的夹角为θ，若tanθ＝76，求λ的值．高三数学试卷第12页(共16页)(第20题图)【解析】所以平面PBM⊥平面PCM；高三数学试卷第13页(共16页)21．(本题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，设曲线C1：|x|a＋|y|b＝1(a＞b＞0)所围成的封闭图形的面积为42，曲线C1上的点到原点O的最短距离为223．以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为C2．(1)求椭圆C2的标准方程：(2)设AB是过椭圆C2中心O的任意弦，l是线段AB的垂直平分线，M是l上的点(与O不重合)，若M是l与椭圆C2的交点，求△AMB的面积的取值范围．【解析】高三数学试卷第14页(共16页)高三数学试卷第15页(共16页)22．(本题满分12分)已知函数f(x)＝ex－ax．(1)若f(x)有两个零点，求a的取值范围；(2)若方程xex＝ax＋alnx有两个实数根x1，x2，且x1≠x2，证明：x1＋x2＋ln(x1x2)＜2lna．【解析】高三数学试卷第16页(共16页)