【数学试卷】长沙市2023 年新高考适应性考试

数学试题第1页（共6页）长沙市2023年新高考适应性考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．请保持答题卡的整洁．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z满足(1)3iiz，则||zA.10B.5C.2D.22．设集合{(,)|}Axyyx，3{(,)|}Bxyyx，则AB的元素个数是A．1B．2C．3D．43．已知2log1.8a，4log3.6b，12c，则A．abcB．acbC．bacD．bca4．41(2)(12)xx的展开式中，常数项为A．4B．6C．8D．105．在平行六面体1111ABCDABCD中，已知4AB，3AD，15AA，90BAD，1160BAADAA，则的值为A．10.5B．12.5C．22.5D．42.56．若1tan()1421tan()4，则cos2的值为A．35B．35C．45D．45数学试题第2页（共6页）7．斐波那契数列{}nF，因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列{}nF满足121FF，且*21()nnnFFFnN．卢卡斯数列{}nL是以数学家爱德华·卢卡斯命名，与斐波那契数列联系紧密，即11L，且*12()nnnLFFnN，则2023FA．202220241136LLB．202220241137LLC．202220241155LLD．202220241255LL8．在平面直角坐标系xOy中，已知(3,0)A，(0,)(0)Btt，若该平面中不存在点P，同时满足两个条件22||2||12PAPO与||2||POPB，则t的取值范围是A．6(0,1)2B．6(1,)2C．66(1,1)22D．66(0,1)(1,+)22二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知双曲线的方程为2216416yx，则A．渐近线方程为12yxB．焦距为85C．离心率为52D．焦点到渐近线的距离为810．自然环境中，大气压受到各种因素的影响，如温度、湿度、风速和海拔等方面的改变，都将导致大气压发生相应的变化，其中以海拔的影响最为显著．下图是根据一组观测数据得到海拔6千米～15千米的大气压强散点图，根据一元线性回归模型得到经验回归方程为14.068.5yx，决定系数为210.99R；根据非线性回归模型得到经验回归方程为0.1632132.9exy，决定系数为220.99R，则下列说法正确的是数学试题第3页（共6页）A．由散点图可知，大气压强与海拔高度负相关B．由方程14.068.5yx可知，海拔每升高1千米，大气压强必定降低4.0kPaC．由方程14.068.5yx可知，样本点(11,22.6)的残差为1.9D．对比两个回归模型，结合实际情况，方程0.1632132.9exy的预报效果更好11．已知函数11xyx与exy相交于A，B两点，与lnyx相交于C，D两点，若A，B，C，D四点的横坐标分别为1x，2x，3x，4x，且12xx，34xx，则A．120xxB．341xxC．13ln1xxD．14e1xx12．如图，已知ABC是边长为4的等边三角形，D，E分别是AB，AC的中点，将ADE沿着DE翻折，使点A到点P处，得到四棱锥PBCED，则A．翻折过程中，该四棱锥的体积有最大值为3B．存在某个点P位置，满足平面PDE平面PBCC．当PBPC时，直线PB与平面BCED所成角的正弦值为33D．当10PB时，该四棱锥的五个顶点所在球的表面积为523EDABCACBEPD数学试题第4页（共6页）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量(1,2)a，(2,2)b，(1,)c，若(2)cab，则________．14．已知函数()2sin()(0)fxx，若函数()fx的图象关于点(,0)6中心对称，且关于直线3x轴对称，则的最小值为________．15．已知O为坐标原点，F为抛物线22ypx的焦点，过点F作倾斜角为60的直线与抛物线交于A，B两点（其中点A在第一象限）．若直线AO与抛物线的准线l交于点D，设AOF，ADB的面积分别为1S，2S，则12SS________．16．已知函数1,0()ln(1),0xxfxxx，若关于x的方程(())ffxa恰有两个不相等的实根1x，2x，且12xx，则2112xx的取值范围是________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）已知数列{}na为等差数列，数列{}nb为等比数列，满足1122ba，222ab，3311ab．（1）求数列{}na，{}nb的通项公式；（2）求数列{}nnab的前n项和nS．18．（本题满分12分）在锐角ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知sinsinsin3ABCabac．（1）求角B的值；（2）若2a，求ABC的周长的取值范围．数学试题第5页（共6页）19．（本题满分12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的六面体中（其中F平面EDC），四边形ABCD是正方形，ED平面ABCD，BFFE，且平面FEB平面EDB．（1）设M为棱EB的中点，证明：A，C，F，M四点共面；（2）若22EDAB，求平面FEB与平面EAB的夹角的余弦值．20．（本题满分12分）为了调动大家积极学习党的二十大精神，某市举办了党史知识的竞赛．初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个单位派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格．某单位派出甲、乙两个小组参赛，在初赛中，若甲小组通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是34，45，乙小组通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是35，23，且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响．（1）若该单位获得决赛资格的小组个数为X，求X的数学期望；（2）已知甲、乙两个小组都获得了决赛资格，决赛以抢答题形式进行．假设这两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率．若最后一道题被该单位的某小组抢到，且甲、乙两个小组抢到该题的可能性分别是45%，55%，该题如果被答对，计算恰好是甲小组答对的概率．数学试题第6页（共6页）21．（本题满分12分）设A，B是椭圆2212xy上异于(0,1)P的两点，且直线AB经过坐标原点，直线PA，PB分别交直线2yx于C，D两点．（1）求证：直线PA，AB，PB的斜率成等差数列；（2）求PCD面积的最小值．22．（本题满分12分）已知函数231()(2)exfxxx，其中0x．（1）求()fx的最大值；（2）若不等式21e|ln|xaxxa对于任意的(0,)x恒成立，求实数a的取值范围．